При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.
Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.
Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.
Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:
Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_textrm-1 $, где $ N_textrm $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_textrm-N_textrm+1 $, где $ N_textrm $ – число ветвей. Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.
Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.
Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь
Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).
Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи
Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ underline_ $, не рассматривается.
Лекция 117. Правила Кирхгофа
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$ underline_- underline_- underline_ = 0; $
для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$ -underline_- underline_ + underline_ = 0; $
$ underline_+ underline_ + underline_- underline_ = 0; $
$ underline_- underline_- underline_ = 0. $
Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$ underline_ cdot underline_ + R_ cdot underline_- underline_ cdot underline_ = underline_; $
для контура «2 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:
$ -R_ cdot underline_ + R_ cdot underline_ + underline_ cdot underline_ = underline_; $
для контура «3 к.»:
$ underline_ cdot underline_ + (underline_ + R_) cdot underline_ + R_ cdot underline_ = underline_; $
где $ underline_ = -frac <omega C>$, $ underline_ = omega L $.
Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:
$ begin underline_- underline_- underline_ = 0 \ -underline_- underline_ + underline_ = 0 \ underline_+ underline_ + underline_- underline_ = 0 \ underline_- underline_- underline_ = 0 \ underline_ cdot underline_ + R_ cdot underline_- underline_ cdot underline_ = underline_ \ -R_ cdot underline_ + R_ cdot underline_ + underline_ cdot underline_ = underline_ \ underline_ cdot underline_ + (underline_ + R_) cdot underline_ + R_ cdot underline_ = underline_ end $
В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:
$ begin 1 -1 0 0 \ -1 0 0 0 \ 0 0 1 -1 \ 0 1 -1 0 \ underline_ 0 0 0 \ 0 R_ underline_ 0 \ 0 0 0 R_ \ end cdot begin underline_ \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ end = begin 0 \ 0 \ 0 \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ underline_ \ end $
Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:
>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3; >> A = [1 -1 -1 0 0 0 0; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 1 0 1 1 0 -1; 0 0 1 0 -1 0 0; Zc1 R2 0 -Zl1 0 0 0; 0 -R2 R4 0 Zc2 0 0; 0 0 0 Zl1 0 (R1+Zl2) R3]; >> b = [0; 0; 0; J1; E1; E2; E3]; >> I = Ab
В результате получим вектор-столбец $ underline> $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.
1 закон Кирхгофа
В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.
Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.
Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.
Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.
Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.
Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:
Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.
Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.
Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:
- I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
- Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
- Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
- Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
- Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
- Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
- А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
- Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.
2 закон Кирхгофа
При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).
- На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
- БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
- ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
- ГА: φГ – I4r4 = φА.
- Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
- или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
- Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.
Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:
Уравнение для постоянных напряжений — 
Уравнение для переменных напряжени — 
Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:
Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.
Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.
При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.
Определить знак можно по алгоритму:
- 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
- 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
- 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).
Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.
Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:
По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:
Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.
Решение задач
1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.
2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.
3 Параллельное соединение
При параллельном соединении проводников их начала подсоединяются к одной точке цепи, а концы — к другой точке.
Снова рассматриваем два резистора, на сей раз соединённые параллельно (рис. 5).
Рис.5 Параллельное соединение
Резисторы подсоединены к двум точкам: a и b. Эти точки называются узлами или точками разветвления цепи. Параллельные участки называются также ветвями; участок от b к a (по направлению тока) называется неразветвленной частью цепи.
Теперь сформулируем свойства параллельного соединения и докажем их для изображённого выше случая двух резисторов:
- Напряжение на каждой ветви одинаково и равно напряжению на неразветвленной части цепи. В самом деле, оба напряжения U1 и U2 на резисторах R1 и R2 равны разности потенциалов между точками подключения:
U1 = U2 = φa − φb = U.
Этот факт служит наиболее отчётливым проявлением потенциальности стационарного электрического поля движущихся зарядов.
- Сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в каждой ветви. Пусть, например, в точку a за время t из неразветвленного участка поступает заряд q. За это же время t из точки a к резистору R1 уходит заряд q1, а к резистору R2 — заряд q2. Ясно, что q = q1 + q2. В противном случае в точке a накапливался бы заряд, меняя потенциал данной точки, что невозможно (ведь ток постоянный, поле движущихся зарядов стационарно, и потенциал каждой точки цепи не меняется со временем). Тогда имеем:
что и требовалось.
- Величина, обратная сопротивлению участка параллельного соединения, равна сумме величин, обратных сопротивлениям ветвей. Пусть R — сопротивление разветвлённого участка ab. Напряжение на участке ab равно U; ток, текущий через этот участок, равен I. Поэтому:
Сокращая на U, получим:
1/R = 1/R1 + 1/R2 , (1)
что и требовалось.
Как и в случае последовательного соединения, можно дать объяснение данного правила на частном примере, не обращаясь к закону Ома.
Пусть параллельно соединены проводники из одного вещества с одинаковыми длинами l, но разными поперечными сечениями S1 и S2. Тогда это соединение можно рассматривать как проводник той же длины l, но с площадью сечения S = S1 + S2. Имеем:
Приведённые доказательства свойств параллельного соединения без существенных изменений переносятся на случай любого числа проводников.
Из соотношения (1) можно найти R:
R = R1R2/(R1 + R2) . (2)
К сожалению, в общем случае n параллельно соединённых проводников компактного аналога формулы (2) не получается, и приходится довольствоваться соотношением
1/R = 1/R1 + 1/R2 + . . . + 1/Rn . (3)
Тем не менее, один полезный вывод из формулы (3) сделать можно. Именно, пусть сопротивления всех n резисторов одинаковы и равны R1. Тогда:
Мы видим, что сопротивление участка из n параллельно соединённых одинаковых проводников в n раз меньше сопротивления одного проводника.
4 Смешанное соединение
Смешанное соединение проводников, как следует из названия, может являться совокупностью любых комбинаций последовательного и параллельного соединений, причём в состав этих соединений могут входить как отдельные резисторы, так и более сложные составные участки.
Расчёт смешанного соединения опирается на уже известные свойства последовательного и параллельного соединений. Ничего нового тут уже нет: нужно только аккуратно расчленить данную схему на более простые участки, соединённые последовательно или параллельно.
Рассмотрим пример смешанного соединения проводников (рис. 6).
Рис. 6 Смешанное соединение
Пусть U = 14 В, R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом, R3 = 3 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 2 Ом. Найдём силу тока в цепи и в каждом из резисторов.
Наша цепь состоит из двух последовательно соединённых участков ab и bc. Сопротивление участка ab:
Сопротивление цепи: R = Rab + Rbc = 1,2 + 1,6 = 2,8 Ом.
Теперь находим силу тока в цепи:
I = U/R = 14/2,8 = 5 A.
Для нахождения тока в каждом резисторе вычислим напряжения на обоих участках:
Uab = IRab = 5 · 1,2 = 6 B;
Ubc = IRbc = 5 · 1,6 = 8 B.
(Заметим попутно, что сумма этих напряжений равна 14 В, т. е. напряжению в цепи, как и должно быть при последовательном соединении.)
Оба резистора R1 и R2 находятся под напряжением Uab, поэтому:
Стало быть, через резистор R5 течёт ток I5 = I − I3 = 5 − 1 = 4 A
Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.
Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.
Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.
Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.
Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:
так как I1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.
Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.
Для внешнего контура:
Для внутреннего левого контура:
Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:
Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:
12 = 0,1I1 +2I.
Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2
12 = 0,1I1 + 2I.
Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:
12 = 0,1I1 + 2I.
Выражаем из первого уравнения значение I
I = 2I1– 70;
И подставляем его значение во второе уравнение
Решаем полученное уравнение
12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.
12 + 140= 4,1I1
Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение
I1=37,073 (А) и получим:
I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А
Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1
I2=4,146 — 37,073 = -32,927
Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .
Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.
Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.
Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.
Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:
ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!
Виды законов Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при нарушении его электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.
Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью s (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и суммарный ток в узле должен быть равным нулю.
Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла отрицательными. Тогда для узла рис. 1 уравнение Кирхгофа будет иметь вид I3+I4-I1-I2 = 0 или I3+I4=I1+I2 .
Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:
- алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю
 | (1) |
- в любом узле сумма токов направленных к узлу равна сумме токов направленных от узла
 , где p+q=n. | (2) |
- алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю
 | (3) |
- алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжения на резисторах в этом контуре
 , где p+q=n | (4) |
Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода. Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых. С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам. Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей Nв минус число ветвей, содержащих источники тока NJ , т.е. N = Nв — NJ . Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число N1не может быть больше числа узлов Nу минус один. Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.
| N1 = Nу -1 ; | (5) |
| N2 = N — N1 = Nв — NJ — N1. | (6) |
Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :
- определить число узлов и ветвей цепи Nу и Nв;
- определить число уравнений по первому и второму законам N1 и N2.;
- для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать направления протекания токов;
- для всех узлов, кроме одного, выбранного произвольно, составить уравнения по первому закону Кирхгофа;
- произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом, чтобы они отличались друг от друга по крайней мере одной ветвью и чтобы все ветви, кроме ветвей с источниками тока, входили по крайней мере в один контур;
- произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в правую часть уравнения ЭДС действующие в контуре, а в левую падения напряжения на резисторах. Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.
Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2. Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с R4 не выбирается произвольно, т.к. в этой ветви он определяется действием источником тока. Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем. Число узлов цепи равно трем (a, b и c), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b, тогда
| a) J + IE1 = J + IR1 =IR3J + IR1 -IR3 = 0 | (7) |
| b) IR3 + IE2 = IR1 + IR2IR3 + IE2 — IR1 — IR2 = 0 | (8) |
По второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Выберем два контура I и II так, чтобы все ветви, кроме ветви с источником тока попали по крайней мере в один из них, и зададим произвольно направление обхода как показано стрелками. Тогда
| I) -E1 = IR1R1 + IR3R3 | (9) |
| II) E2 = IR2R2 | (10) |
При выборе контуров и составлении уравнений все ветви с источниками тока должны быть исключены, т.е. контуры обхода не должны включать ветви с источниками тока. Это не означает что для контуров с источниками тока нарушается второй закон Кирхгофа. Просто при необходимости определения падения напряжения на источнике тока или на других элементах ветви с источником тока это можно сделать после решения системы уравнений. Например, на рис. 2 можно создать замкнутый контур из элементов R3, R4 , J и E2, и для него будет справедливым уравнение IR3R3+ E2+JR4+ UJ = 0 , где UJ — падение напряжения на источнике тока J.
Первое правило Кирхгофа
Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.
Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.
На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.
Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.
На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.
Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:
Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.
Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.
Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».
Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.
Второе правило Киргхофа
Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.
Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.
При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.
Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.
Формулировки уравнений общего характера:
, где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.
Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.
Математическое представление и расчеты
Формулировка математического выражения закона Кирхгофа основана на принципе сохранения энергии. Закон Кирхгофа для электрических цепей и оптических систем может быть записан следующим образом:
Закон Кирхгофа для электрических цепей:
Первый закон Кирхгофа, также известный как закон узлов, утверждает, что сумма токов, втекающих в узел, должна быть равна сумме токов, вытекающих из узла. Математически это можно записать следующим образом:
где Ii – токи входящие или выходящие из узла.
Закон Кирхгофа для оптических систем:
Второй закон Кирхгофа, также известный как закон контура, устанавливает равенство суммы интенсивностей падающего и отраженного света на поверхности к сумме интенсивностей преломленного и отраженного света. Математически это можно записать следующим образом:
где Iпад, Iотр, Iпрел – интенсивности падающего, отраженного и преломленного света соответственно.
Расчеты с использованием закона Кирхгофа могут включать определение неизвестных токов или интенсивностей света в системе. Для этого необходимо составить уравнения, используя закон Кирхгофа, и решить их методами алгебры или численных методов.
(Примечание: В данной статье мы представили только основные математические формулировки закона Кирхгофа. Для более подробной информации о математической моделировании и расчетах рекомендуется обратиться к специализированной литературе по физике.)
Закон Кирхгофа и его применимость в других областях физики
Закон Кирхгофа, изначально разработанный для анализа электрических цепей и оптических систем, также может быть применен в других областях физики. Этот закон основан на принципе сохранения энергии и может быть использован для анализа различных физических систем.
Например, закон Кирхгофа может быть применен в теплопроводности. В этом случае, тепловой поток является аналогом электрического тока, а разность температур – аналогом напряжения. Закон Кирхгофа позволяет определить распределение тепла в системе и рассчитать тепловые потоки через различные элементы.
Также закон Кирхгофа может быть использован для анализа звуковых волн. В этом случае, звуковое давление играет роль напряжения, а интенсивность звука – роль тока. Закон Кирхгофа позволяет определить распределение звукового давления и интенсивности звука в системе.
Другие области, где закон Кирхгофа может быть применен, включают механику, электромагнетизм и ядерную физику. В каждом случае закон Кирхгофа позволяет анализировать потоки энергии или частиц через различные элементы системы и определить их распределение.
Таким образом, закон Кирхгофа является универсальным инструментом для анализа физических систем. Его применимость не ограничивается только электрическими цепями и оптическими системами, но распространяется на множество других областей физики.
