Какая система счисления используется в компьютерной технике

Все мы привыкли к десятеричной системе исчисления, и многие люди даже не догадываются, что для цифровых устройств такая система неприменима. Ваш компьютер оперирует числами так же, как и человек, однако систему исчисления использует двоичную. Что это значит и зачем такие сложности?

Во всем мире люди используют так называемую «позиционную» систему: значение цифры в составе числа зависит от ее позиции. Это значит, что стоящие вместе цифры 1, 4 и 2 вместе будут составлять число сто сорок два, но если поменять эти цифры местами, мы получим совершенно другое число. Каждое из знаков в составе числа имеет свой разряд, поэтому мы легко читаем написанное число и определяем его величину.

Но позиционная система построения чисел не всегда была такой, какой мы привыкли его видеть. Например, цифра ноль придумана уже после того, как был изобретен основной ряд чисел. А до тех пор числа складывались иначе.

Римские цифры использовали повторительные символы для записи нового числа. Например, число 10 выглядит как X, 30 – ХХХ, а 1123 в римской записи выглядит как MCXXIII.

Как считает компьютер?

В компьютере используется элементарная двоичная система исчисления: числа складываются только из двух знаков – нуля и единицы. Это связано в первую очередь с внутренним строением компьютера. Внутри процессора находятся миллионы транзисторов, которые по своим техническим особенностям имеют два состояния: включен (ток свободно протекает) или выключен (ток не течет).

Различия между двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системой

2. Системы счисления, используемые в компьютерах

Совокупность названий и знаков, позволяющая записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);
• восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);
• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Таблица 1 — Примеры записи чисел в различных системах счисления

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д. Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0. Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета. Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения 700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10 2 + 5•10 1 + 7•10 0 + 7•10 -1 = 757,7. Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения an-1 q n-1 + an-2 q n-2 + . + a1 q 1 + a0 q 0 + a-1 q -1 + . + a-m q -m , где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно. Формы представления чисел: – свернутой (неявной) форме, для которой не указывается вес разряда; – развернутой (явной) форме, для которой указывается вес каждого разряда. Приведем примеры записи чисел в различных системах счисления. Пример записи числа в десятичной системе счисления: – в свернутой форме – 28710; – в развернутой форме 28710 = 2 . 10 2 + 8 . 10 1 + 7 . 10 0 , где 10 — основание десятичной системы (обозначено подстрочным индексом). Пример записичисла в двоичной системе счисления: – в свернутой форме – 10112; – в развернутой форме 10112=1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 где 2 — основание двоичной системы (обозначено подстрочным индексом). Перевод числа из системы с произвольным основанием р в десятичную систему счисления осуществляется с помощью формулы разложения этого числа по степеням основания р. Например: 1102 = 1 . 2 2 + 1 . 2 1 + 0 . 2 0 = 610, 1108 = 1 . 8 2 + 1 . 8 1 + 0 . 8 0 = 7210, 11016 = 1 . 16 2 + 1 . 16 1 + 0 . 16 0 = 27210, Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой. При обратном переводе каждая группа из трех двоичных разрядов заменяется одной восьмеричной цифрой. Например: 2058 = 010 000 1012 = 100001012; 1010101102 = 101 010 1102 = 5268; Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой. При обратном переводе каждая группа из четырех двоичных разрядов может быть заменена одной шестнадцатеричной цифрой. Например: 2Е516 = 0010 1110 01012 = 10111001012. 11111011012 = 0011 1110 11012 = 3ЕD16 Для перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему. Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Зачем нужны системы счисление. Объяснение смысла

Компьютерные системы счисления
презентация к уроку по информатике и икт (9 класс) по теме

Системы счисления. Предназначен для учащихся 8-9 класса. Урок изучения нового материала.

Презентация	1.26 МБ
Технологическая карта урока	1.31 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова алфавит цифра основание позиционная система счисления компьютерные системы счисления двоичная система счисления восьмеричная система счисления шестнадцатеричная система счисления

Позиционные системы счисления Название Основание Алфавит Двоичная 2 0, 1 Троичная 3 0, 1, 2 Четверичная 0, 1, 2, 3 … … … Восьмеричная 8 … … … Десятичная 10 Одиннадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А … … … Шестнадцатеричная Заполните недостающие основания и алфавиты систем счисления

Позиционные системы счисления Название Основание Алфавит Двоичная 2 0, 1 Троичная 3 0, 1, 2 Четверичная 4 0, 1, 2, 3 … … … Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … … … Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Одиннадцатеричная 11 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А … … … Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

«Компьютерные» системы счисления

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: 1) двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: 2) представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво ;

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: 3) двоичная арифметика наиболее проста ; + 0 1 0 0 1 1 1 10 * 0 1 0 0 0 1 0 1

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как: 4 ) существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

«Компьютерные» системы счисления Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Физкультминутка РУКИ — НОГИ Один хлопок — команда рукам: их надо поднять или опустить. Два хлопка — команда ногам: нужно встать или сесть.

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 0 до 16 Десятичная система Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система 0 0 0 0 8 1000 1010 А 16 10000

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 0 до 17 Десятичная система Двоичная система Восьмеричная система Шестнадцатеричная система 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10

Правило перевода двоичных чисел в восьмеричную систему счисления Разобьем двоичное число на группы по три цифры (триады) справа налево. Каждую триаду заменим на соответствующую цифру в восьмеричной системе счисления. Пример : 10011110100 2 = 10 011 110 100 2 =2364 8

Правило перевода восьмеричных чисел в двоичную систему счисления Каждую восьмеричную цифру заменим на соответствующую ей триаду в двоичной системе счисления. При этом, если в таблице соответствия в двоичной системе не хватает цифр до триады, то слева приписываем необходимое количество нулей (1→001, 10→010 и т. д.) Пример : 1542 8 = 001 101 100 010 2 =1101100010 2

Правило перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему счисления 1. Разобьем двоичное число на группы по четыре цифры (тетрады) справа налево. Пример : 10011110100 2 = 100 1111 0100 2 =4 F 4 16 2. Каждую тетраду заменим на соответствующую цифру в шестнадцатеричной системе счисления.

Правило перевода шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления Каждую шестнадцатеричную цифру заменим на соответствующую ей триаду в двоичной системе счисления. При этом, если в таблице соответствия в двоичной системе не хватает цифр до тетрады, то слева приписываем необходимое количество нулей (1→001, 10→010 и т. д.) Пример : 152 16 = 0001 0101 0010 2 =101010010 2

Опорный конспект Компьютерные системы счисления 2 сс 8 сс 16 сс триада (3) тетрада (4) Таблица соответствия 10 сс, 2 сс, 8 сс, 16 сс

Заполни таблицу, переведя число из заданной системы счисления в оставшиеся. Задание Основание 2 Основание 8 Основание 16 I вариант 111111 0 II вариант 1101010

Заполни таблицу, переведя число из заданной системы счисления в оставшиеся. Задание Основание 2 Основание 8 Основание 16 I вариант 111111 0 176 7E II вариант 1101010 152 6A

Позиционные системы счисления

В системах счисления, которые содержат больше (10) знаков, после цифры (9) начинаются латинские буквы. (10), (11), (12) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.

Десятичная система счисления

Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры (0), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9).

Обрати внимание!

Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.

Представим десятичное число (652,17) в развёрнутом виде.

Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с (0). Цифра (2) находится в разряде единиц, ставим над ней (0), далее разряд десятков — над цифрой (5) ставим (1) и т. д.

6 2 5 1 2 0 , 1 − 1 7 − 2
Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:
652,17 10 = 6 × 10 2 + 5 × 10 1 + 2 × 10 0 + 1 × 10 − 1 + 7 × 10 − 2 .
Двоичная система счисления

Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток ((1)), нет тока ((0)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.

Запишем двоичное число (111001,101) в развёрнутом виде.

111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.

Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа (452,214).
452,214 8 = 4 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 2 × 8 − 1 + 1 × 8 − 2 + 4 × 8 − 3 .

Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.

Системы счисления, используемые в компьютере

В компьютере используют двоичную систему счисления для Представления информации, потому что она имеет ряд преиму­ществ перед другими системами счисления:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (а не с десятью, как в десятичной си­стеме счисления). Например: электромагнитное реле (замкнуто/ разомкнуто), которое широко использовалось в конструкциях пер­вых ЭВМ; участок поверхности магнитного носителя информа­ции (намагничен/размагничен); участок поверхности лазерного диска (отражает/не отражает); триггер, который может устойчиво находиться в одном из двух состояний;

• широко используется в оперативной памяти компьютера;

• представление информации посредством только двух состо­яний надежно и помехоустойчиво;

• возможно применение аппарата булевой алгебры для выпол­нения логических преобразований информации (см. гл. 3);

• двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостаток двоичной системы счисления — быстрый рост числа

разрядов, необходимых для записи чисел.

Человеку очень трудно воспринимать многоразрядные числа, т.е. числа, записанные в двоичном коде, а для компьютера раз­рядность числа не имеет большого значения, так как современ­ные компьютеры обрабатывают за один такт работы процессора более 64 двоичных разрядов.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот выполняет машина, однако программисты часто ис­пользуют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисле­ния на этапах отладки программ и просмотра содержимого фай­лов в режиме машинных кодов.

Числа в этих системах счисления читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в дво­ичной системе счисления (числа 8 и 16 — соответственно третья и четвертая степени числа 2).

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоич­ную систему счисления очень прост; достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) Для восьмеричной системы счисления или тетрадой (четверкой Цифр) для шестнадцатеричной системы счисления.

Примеры.

5 3 7 1 1 А 3 F

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады или тетрады и каждую такую груп­пу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатери-чной цифрой.

Примеры.

10101001, 101112 = 10 101 001, 101 1112 = 251,568; 2 5 1 5 6

10101001, 101112 = Ю10 1001, 1011, 10002=Л9, Я816.
А 9 В 8

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих опе­раций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только нужно пользоваться особыми для каждой системы табли­цами сложения и умножения.

Сложение. При сложении цифры суммируются по разрядам; если при этом возникает избыток, то он переносится влево в старший разряд.

Сложение в двоичной системе счисления

Примеры.

Сложение в десятичной системе счисления: 1510+ 610.

Сложение в двоичной системе счисления: 11112+ 110:

Рассмотрим еще несколько примеров сложения в двоичной системе счисления:

/ 1111 11111 1 111,1

100 1 110 1 11111 10 100 11,111

+ 10 Ю + 10 1 1 + _____ 1 + 1 100 1,1 10

10011 11000 100000 1101101,101

Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее число и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания то­чка означает заем в старшем разряде, который переходит в млад­ший разряд как д единиц.

Примеры.

Вычитание в десятичной системе счисления: 201,2510 -59,7510.

Вычитание в двоичной системе счисления: 11001001,01, — 111011,112.

1 100 100 1,0 1 00111011,11 1000 110 1,10

Рассмотрим еще несколько примеров вычитания в десятичной системе счисления:

110 110 10 1 10 11100 1,1

Ю10 111111000 110 1,1

00 10 10 110 00 10 1 100,0

Умножение. Выполняя умножение многозначных чисел в раз­личных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при» этом Результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой систе­ме таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе счисления

Примеры.

Рассмотрим несколько примеров умножения в двоичной системе счисления:

Деление. Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, что и деление углом в десяnbой системе счисления. В двоичной системе счисления деление выполняется особенно просто: ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Примеры. Разделить 5865 на 115.

Деление в десятичной системе счисления: 586510: 115ш.

Деление (5865: 115) 10 в двоичной системе счисления: 10И01И010012:11100112.

101101110100 1 | 1 1 1 0 0 1 1
1110011 ____ |110011

— 1000 1000 1110011

11100-11
_______ 1110011

Проверка: 1100112 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2° = 51.

Рассмотрим еще два примера деления в двоичной системе:числения:

75:15 = 5 84:4 = 21

10 0 10 1 1 | 1 1 1 1 10 10 10 O il 0 0

1111 [ ТО 1 1001 10 10 1

Понятия и определения

Перед началом изучения бинарной формы записи значений необходимо запомнить несколько определений:

• число – это количество, цифра – символ, используемый для его обозначения;
• основание системы счисления (СС) – количество цифр в СС;
• разряд – индекс цифры, который начинается с нуля и отсчитывается в направлении «справа-налево»;
• бит – простейшая информационная единица в информатике, представленная 0 и 1.

Подробнее необходимо остановиться на понятии системы счисления. Так называется набор цифр и согласованных правил описания имеющихся чисел.

Система счисления – это…

Система счисления (или numeral system) – это некоторый символический метод записи чисел, представление чисел через письменные знаки.

• дает представление множества чисел – целых или вещественных;
• используется для отображения алгебраической и арифметической структуры чисел;
• позволяет каждое число представить в уникальной форме.

Существуют разные системы счисления: позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционный тип

Значение числа будет определяться в такой системе не только цифрами, но и их позицией. Это арабская система (десятичная), где первый разряд справа отводится под единицы, второй – для десятков, третий – для сотен и так далее.

В позиционной системе число 468 будет записываться как:

• 8 единиц;
• 6 десятков;
• 4 сотни.

К данной категории относят системы счисления с основаниями 16, 8 и 2.

Непозиционный тип

Значение чисел определяется знаком (цифрой). Чтобы обозначить единицы, десятки, сотни, тысячи в непозиционных системах используются специальные символы. Положение цифры в числе не будет иметь значения. Система способна накладывать некоторые ограничения на положение цифровых элементов. Пример – расположение в порядке убывания.

В качестве наиболее распространенного варианта непозиционных систем счисления выступают римские цифры. Число 475 здесь может иметь несколько способов записи:

• CCCCXXXXXXXIIIII;
• CDLXXV.

Второй вариант записи использует вычитание и прибавление. Значение цифры, которая стоит справа от большего числа, отнимается от этого самого числа. Если цифра стоит справа, значение должно прибавляться.

Двоичная система

Двоичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 2. Также называется бинарной (binary). Она широко используется в вычислительной технике и других современных устройствах.

Двоичные системы счисления используют всего две цифры при записи информации – 0 и 1. Они появились еще в Древнем Китае, но современная binary system стала развиваться в 17 веке, а ее применение началось в середине 20-го века.

История развития

Томас Хэрриот, астроном и математик из Англии, в 1605 году впервые описал двоичное представление чисел, а Фрэнсис Бэкон, философ, создал шифр из двух символов – A и B.

В 1670-м году Хуан Карамюэль-и-Лобковиц, богослуживец из Испании, опубликовал разные способы представления чисел в системах счисления. В публикации было упомянуто и про двоичную интерпретацию.

Наиболее значительными в развитии binary system стали работы Готфрида Лейбница, математика из Германии. В 1703 году он описал двоичную арифметику – возможные математические операции с двоичными числами.

В 1838 году изобретатель из Америки Самюэл Морзе создал одноименный шифр, который включал в себя всего два символа – точку и тире. Они передавались по телеграфу в виде сигналов различной длины. Азбука Морзе – это не бинарная система в строгом понимании термина, но двоичный принцип в ней использовался. Именно с ней соответствующий вариант представления записей продемонстрировал свою значимость.

Чуть позже, в 1847 году, Джордж Буль, математик из Англии, создал «булеву алгебру». В ней появились такие понятия как «ложь» и «истина», а также определенные логические законы.

В 1937 году Клод Шеннон, инженер из Америки, объединил двоичный принцип, булеву логику и электрические схемы. Он же ввел понятие «бит» – минимального количества информации, где:

• 0 – это отсутствие тока, «ложь» (0 бит);
• 1 – наличие тока, «истина» (1 бит).

С того самого момента бинарная система счисления стала активно применяться в вычислительной технике, включая современные компьютеры.

Числа в binary system

Двоичным числом называется число, которое состоит из двоичных цифр. Их всего две – 0 и 1. В качестве записей в binary system могут использовать разные значения: «ток есть» и «тока нет», «истина» и «ложь» и так далее.

Ниже можно увидеть числа в двоичной системе, а также их интерпретации в других системах счисления:

Эта таблица поможет лучше ориентироваться в расчетах и быстрее разобраться со способами представления чисел.

Любое натуральное число может быть закодировано в бинарном представлении. Оно будет представлять собой некоторую последовательность единиц и нулей.

Особенности

У двоичной системы счисления имеются как преимущества, так и недостатки. К ее слабым сторонам относят то, что она не понятна человеку на уровне интуиции. Также сюда можно отнести следующие моменты:

1. Неудобство работы с большими числами. Это вызвано длинной записью значения. Пример – RGB: 25510, 25510, 25510. Здесь и далее нижний индекс будет указывать на основание системы. Значения RGB обычно записываются в шестнадцатеричной форме представления: FF16, FF16, FF16. При переводе записи в бинарный вид получится 1111112, 1111112, 1111112. Такая форма записи выглядит громоздко и непонятно.
2. Отсутствие реального применения в жизни (за исключением компьютеров и иной вычислительной техники).
3. Долгое вычисление вручную.

Двоичная система счисления для вычислительной техники – это некий стандарт. Из него следуют преимущества рассматриваемой формы представления информации:

• позиционная система предусматривает разряды;
• можно осуществлять различные арифметические действия;
• допустимо построение логики;
• подходит для шифрования данных;
• используется в качестве «родного» для компьютеров и других устройств.

Binary System – стандарт, используемый в ЭВМ. Он удобен при расчетах и занимает намного меньше пространства, чем остальные формы представления числовых записей.

Общепринятые системы счисления

Человечество в ходе своего развития со временем стало нуждаться в способах подсчета. Нужно было считать, например, количество добычи или убитых врагов из других племен. И эта нужда у древних людей только возрастала. Поначалу пользовались абстрактными понятиями типа «нисколько», «один», «много». Затем в употребление вошла «пара», означающая два каких-то предмета. Уже одно это нововведение существенно упростило жизнь древнему человеку.

В дальнейшем люди стали считать единицами, используя в качестве таковых пальцы на руках и ногах, зарубки на деревьях, кости зверей, узелки на веревках. Благодаря изобретению таких примитивных счетных машин человечество спустя тысячелетия смогло понять, что в древности люди умели не только считать, но также фиксировать результаты счета.

С течением времени возникла необходимость в символьном обозначении любого количества больше единицы. В итоге древними египтянами были впервые придуманы знаки, обозначающие 1, 5 и 10.

Система чисел, состоящая из определенных знаков (цифр), фактически и является системой счисления. Другими словами, это способ численного выражения с помощью принятых правил и специальных знаков, называемых цифрами.

Узнай, какие ИТ — профессии
входят в ТОП-30 с доходом
от 210 000 ₽/мес
Павел Симонов
Исполнительный директор Geekbrains

Команда GeekBrains совместно с международными специалистами по развитию карьеры подготовили материалы, которые помогут вам начать путь к профессии мечты.

Подборка содержит только самые востребованные и высокооплачиваемые специальности и направления в IT-сфере. 86% наших учеников с помощью данных материалов определились с карьерной целью на ближайшее будущее!

Скачивайте и используйте уже сегодня:

Павел Симонов
Исполнительный директор Geekbrains

Топ-30 самых востребованных и высокооплачиваемых профессий 2023

Поможет разобраться в актуальной ситуации на рынке труда

Подборка 50+ бесплатных нейросетей для упрощения работы и увеличения заработка

Только проверенные нейросети с доступом из России и свободным использованием

ТОП-100 площадок для поиска работы от GeekBrains

Список проверенных ресурсов реальных вакансий с доходом от 210 000 ₽

Получить подборку бесплатно
Уже скачали 26166

Любая система счисления принадлежит к одной из двух категорий:

Позиционные СС

Конкретное значение числа определяется не только цифрами, но и их позицией. Сюда относят арабскую систему, где первый разряд справа отведен для единиц, второй разряд справа — для десятков, третий разряд справа — для сотен и т. д. Таким образом, для записи числа 475 необходимо в крайней правой позиции расположить пятерку (пять единиц), после нее — семерку (семь десятков) и затем — четверку (четыре сотни). Позиционными считаются также системы счисления с основаниями (2, 8, 16).

Непозиционные СС

Значение числа определяется только знаком (цифрой). Для обозначения единиц, десятков, сотен и тысяч используются отдельные символы. Наиболее показательным представителем данной группы является римская система счисления. Здесь имеется еще одна отличительная особенность. Для записи очень больших чисел необязательно использовать весь набор знаков — на такие случаи существуют функции сложения и вычитания.

К примеру, число 475 римскими цифрами может выглядеть как CCCCXXXXXXXIIIII либо, в сокращенном виде, как CDLXXV. В последнем варианте используются именно вычитание и прибавление. Значение цифры, стоящей слева от большего числа, отнимается соответственно от этого числа. Если эта цифра стоит справа, то значение прибавляется.

Впервые позиционная система счисления была введена в Вавилоне. Примечательно, что она была шестнадцатеричная. К 19 веку распространение получила двенадцатеричная система.

Прежде чем разбирать, как записывается двоичная система счисления, определимся с терминами. Алфавит любой СС состоит из знаков, обозначающих отдельные цифры. Основанием называют значение, равное количеству знаков для кодирования чисел и представляющее собой целое число от 2 и выше.

Когда рассматривается несколько разных СС, тип каждой из них обычно обозначается подстрочным знаком. По умолчанию, если не указано основание, число является десятичным. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Числа, используемые в двоичной системе счисления

Состав двоичной системы счисления — цифры 0 и 1. Основание равно 2. В крайней правой позиции числа указывается количество единиц, левее — количество двоек, затем количество четверок и т. д.

Таким образом, любое натуральное число кодируется в последовательный ряд из нулей и единиц — это и будет являться двоичной системой счисления. Решение такой задачи покажем на примере ниже.

10112 = 1*23 + 0*2*2+1*21+1*20 =1*8 + 1*2+1=1110

Как известно, двоичная система счисления используется вычислительной техникой для хранения информации, а также для преобразования данных в графические изображения. В свою очередь обработка двоичного кода требует предварительного размещения каждой цифры внутри особой электронной схемы (триггера). Эта схема может пребывать в одном из двух состояний — «ноль» или «единица».

Отдельное число, состоящее из нескольких цифр, сохраняется группой триггеров — регистром. Оперативная память компьютера фактически является совокупностью таких регистров.