Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.
Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.
В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.
С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4 ), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:
ω t — k x = ω ( t + ∆ t ) — k ( x + ∆ x ) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .
Из указанного выражения следует:
υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .
Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .
Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце ( x = 0 ) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце ( x = L ) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:
l = n λ n 2 или λ n = 2 l n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .
Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f
f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .
В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.
Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие ( f 2 , f 3 , … ) называются гармониками.
Когда скорость движения источника равна скорости распространения волн
Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .
Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T ) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f 0 = ω 0 2 π , то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот f n . На рисунке 2 . 6 . 7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.
Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.
Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.
Рисунок 2 . 6 . 8 . Модель нормальных мод струны.
Распространение колебаний
Далеко не любые колебательные процессы приводят к распространению волн. Колебательная система представляет собой лишь источник колебаний. Для того, чтобы эти колебания могли распространяться, необходимо также существование упругой среды без разрывов, связанной с этим источником. Природа упругих сил может быть различна в различных средах, однако, их наличие обязательно, без этого второго условия, распространение волн в среде невозможно.
Каждая точка среды, через которую проходит волна, в простейшем случае начинает колебаться по гармоническому закону (в более сложных случаях колебания точек можно представить в виде суммы таких функций с различными параметрами):
Однако, уравнение колебания соседних точек будет немного различаться. Во-первых, чем дальше точка расположена от источника колебаний, тем больше потерь происходит по пути, и тем меньше амплитуда колебаний (параметр $A$ в представленной формуле). Однако, когда потери невелики, заметное изменение амплитуды происходит лишь на больших расстояниях.
Гораздо важнее другое отличие – отличие фазы колебаний (параметр $varphi$ ) для различных точек. По мере удаления от источника колебаний, фаза плавно изменяется, постоянно увеличиваясь. Поскольку синус – круговая функция, то рано или поздно разность фаз между двумя точками становится равной $<2pi>$, а значит, эти две точки колеблются одинаково – синфазно. Для более далеких точек фаза увеличивается дальше, и для точек, разность фаз которых составит $<4pi>$ колебания опять будут синфазны.
Таким образом, по мере удаления от источника колебаний в среде будет ряд точек, колеблющихся в одной фазе. Минимальное расстояние между двумя такими точками называется длиной волны. Она обозначается греческой буквой $lambda$ (лямбда).
Скорость распространение волн
Плавное изменение фазы колебаний по мере удаления от источника колебаний можно представить в виде распространения этих колебаний, и определить скорость этого распространения. Разность фаз между ближайшими точками, колеблющимися синфазно, составляет $2pi$, это один период колебаний. А значит, волна проходит расстояние между этими точками за время одного периода $T$. Зная длину волны – можно вычислить скорость ее распространения:
Иногда известен не период, а частота колебаний $nu$. В этом случае формула скорости распространения волны примет вид:
Если среда первоначально была спокойна, то начало возмущений (иногда его называют «фронт волны») будет удаляться от источника колебаний как раз с указанной скоростью.
Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:
где $K$ — модуль объемной упругости вещества; $rho =const$ — плотность среды. В газах формула (4) выполняется, если избыточное давление много меньше, равновесного давление газа в невозмущенном состоянии.
Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:
где $gamma $ — показатель адиабаты; $p$ — давление газа.
Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:
где $E$ — модуль Юнга вещества стержня.
Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн
Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:
где $G$ — модуль сдвига среды; $rho $ — плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Связь со скоростью
Чтобы вывести формулу скорости через длину волны, нужно вспомнить формулу скорости из кинематики — это раздел физики, в котором изучается движение тел без учета внешнего воздействия).
Формула скорости
= S/t
Переходя к волнам, можно провести следующие аналогии:
- путь — длина волны
- время — период
А для скорости даже аналогия не нужна — скорость и в Африке скорость.
Формула скорости волны
= λ/T
λ — длина волны [м]
Задачка
Лодка совершает колебания на волнах. За 40 с она совершила 10 колебаний. Какова скорость распространения волны, если расстояние между соседними гребнями волны равно 1 м?
Решение:
Возьмем формулу скорости:
Резонанс
Если громко говорить в одном помещении с гитарой — можно услышать, как на ней начал играть призрак. На самом деле частота струны совпала с частотой голоса и возник резонанс.
На графике ниже можно увидеть, что на некоторой частоте резко увеличивается амплитуда. Эта частота называется частотой резонанса.
Частота — это величина, обратная периоду. Она показывает, за какое время происходит одно колебание.
Формула частоты
ν = N/t
N — количество колебаний [—]
В мире существует очень много историй про то, как солдаты шли в ногу по мосту, он впал в резонанс и все провалились. А вот еще одна история про гидрологов — как говорится, из первых уст
Команда гидрологов — специалистов по внутренним водам — работала на Алтае и изучала местную реку. Через реку был протянут веревочный мост, а по центру моста стояла лебедка, которая помогает поднять пробу воды из речки, не спускаясь до нее.
В один из дней экспедиции начался сильный, почти штормовой, ветер. Исследователи работали на мосту, а когда поняли, что находиться на веревочной конструкции в такой сильный ветер небезопасно, начали с него уходить. Как только последний человек из команды сделал шаг с моста на землю, мост вместе с лебедкой разнесло в щепки. Это произошло из-за того, что частота ветра совпала с собственной частотой раскачивающегося моста. Хорошо, что история закончилась именно так.
Чему равна скорость распространения морской волны, если человек, стоящий на берегу, определил, что расстояние между двумя соседними гребнями волн равно 8 м
Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.
поделиться знаниями или
запомнить страничку
- Все категории
- экономические 43,679
- гуманитарные 33,657
- юридические 17,917
- школьный раздел 612,662
- разное 16,911
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
- Обратная связь
- Правила сайта
4. Скорость распространения волны
Рассмотрим неустановившееся движение в открытом прямоугольном русле (с горизонтальным дном), считая, что потерями на трение можно пренебречь. В этом случае и уравнения (19.14) записываются в виде
, (19.20)
где — скорость перемещения отдельных точек фронта волны.
Интегрируя (19.15) с учетом того, что 
,
получим
const. (19.21)
Найдя постоянную интегрирования из начальных условий, когда 
=const и 
=const, получим
, (19.22)
где 
— первоначальная глубина наполнения;
,
— высота волны (рис. 19.7).
Средняя скорость движения при неустановившемся движении в прямоугольном горизонтальном русле при отсутствии гидравлических сопротивлений определяется по (19.22). С использованием (19 22) из (19.20) получим
. (19.23)
; (19.24)
; (19.25)
, (19.26)
где — произвольная функция.
В полученных формулах знак плюс соответствует прямой волне, знак минус — обратной. При этом для положительной волны 
, для отрицательной
.
В соответствии с (19.25) в волне, характеризующейся повышением уровня (
), сечение с большей глубиной нагоняет сечение с меньшей глубиной. Поэтому мгновенные профили волны становятся все более крутыми, при определенных условиях волна может опрокинуться, т.е. разрушиться. Для волн
сечение с меньшей глубиной отстает от сечения с большей глубиной и мгновенные профили волны становятся все более распластанными. Если изменение расхода, вызвавшее появление положительной волны, произошло достаточно быстро, то фронт такой волны считают вертикальным, хотя на самом деле положительная волна в таких условиях начинается с переднего вала высотой примерно
(рис. 19.7).
При медленном изменении расхода (или отметки уровня, или глубины), приведшем к появлению положительной волны, ее фронт растянут.
От скорости перемещения отдельных точек фронта волны можно перейти к скорости распространения фронта волны. Эту скорость называют скоростью распространения волны . Ее находят из выражения
.
Подставив сюда по (19.25) и выполнив преобразования, получим
.
после интегрирования получим
. (19.27)
Вновь для прямой волны — знак плюс, для обратной волны — знак минус.
При получим
. (19.28)
Если волна распространяется в неподвижной жидкости (), то получим формулу Лагранжа для этого случая
. (19.29)
Все формулы даны для случая, когда волна положительная, т. е. .
При отрицательной волне в формулах должна быть принята отрицательной.
Формулы, полученные для прямоугольного русла, могут быть применены для призматических русл с другой формой поперечного сечения. Следует при этом в формулах для 
и
заменить
на
, где
— первоначальная площадь живого сечения;
— ширина по верху живого сечения при
.
Формулы скорости распространения волны (19.27) — (19.29) могут быть применены и для реальных случаев, когда силы сопротивления не равны нулю, так как их влияние не сказывается ощутимым образом на .
п.2. Скорость и длина волны
Скорость распространения колебаний в пространстве называют скоростью волны .
Расстояние между двумя ближайшими точками, движущимися в любой момент времени с одинаковыми по модулю и направлению скоростями, называют длиной волны.
Длина волны при продольных колебаниях:
Длина волны при поперечных колебаниях:
При скорости (v) за период колебаний (T) волна распространяется на расстояние, равное длине волны (lambda): $ lambda=vT $
Скорость распространение волны равна произведению длины волны на частоту колебаний: $ v=lambda f $
Внимание!
Частота колебаний определяется источником колебаний, а скорость распространения зависит от свойств среды. Поэтому колебания с одной и той же частотой в разных средах будут распространяться с разной длиной волны.
п.3. Скорость звука, громкость и высота тона
Звук – это продольная волна, которая воспринимается нашими органами слуха.
Диапазон частот звуковых волн: от 16-20 Гц до 15-20 кГц.
Звуковая волна связана с перемещением области с небольшим избыточным давлением. Для обычной речи этот избыток составляет всего лишь одну миллионную долю от атмосферного давления.
Скорость звука в воздухе сильнее всего зависит от температуры, меньше – от давления и влажности. При повышении температуры воздуха на 1°С скорость звука в нем увеличивается в среднем на 0,59 м/с.
Скорость звука в воздухе при различной температуре
| t, °C | -150 | -100 | -50 | -20 | -10 | 0 | 10 | 20 |
| c, м/с | 216,7 | 263,7 | 299,3 | 318,8 | 325,1 | 331,5 | 337,3 | 343,1 |
| t, °C | 30 | 50 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 1000 |
| c, м/с | 348,9 | 360,3 | 387,1 | 436,0 | 479,8 | 520,0 | 557,3 | 715,2 |
Скорость звука в воде составляет около 1500 м/с и растет с увеличением температуры и солёности (для океанов). Также скорость увеличивается с глубиной.
Скорость звука в твёрдых телах еще выше. Например, в стекле – 3980 м/с, в стали – 5950 м/с, а в алюминии – 6420 м/с.
Как и любая волна, звук характеризуется амплитудой и частотой.
Звуковые волны с большой амплитудой изменения звукового давления мы воспринимаем как громкие (гудок автомобиля), а с малой амплитудой – как тихие звуки (шелест листьев).
Звуковые колебания с высокой частотой мы воспринимаем как звуки высокого тона (писк комара), а колебания с низкой частотой – как звуки низкого тона (жужжание шмеля).
Это интересно
Чему равна скорость распространения волны
Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной .
Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной . Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 2.6.1) или по струне.
Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной . Волны в упругом стержне (рис. 2.6.2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.
Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.
Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.
Распространение поперечного волнового импульса по натянутому резиновому жгуту
Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню
Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами . В реальных средах эти свойства распределены по всему объему. Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 2.6.3).
Простейшая одномерная модель твердого тела
В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики обладают массой , а пружинки – жесткостью . С помощью такой простой модели можно описать распространение продольных и поперечных волн в твердом теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Такая деформация называется деформацией растяжения или сжатия (см. §1.12). В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением .
Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
Если в одномерной модели твердого тела один или несколько шариков сместить в направлении, перпендикулярном цепочке, то возникнет деформация сдвига . Деформированные при таком смещении пружины будут стремиться возвратить смещенные частицы в положение равновесия. При этом на ближайшие несмещенные частицы будут действовать упругие силы, стремящиеся отклонить их от положения равновесия. В результате вдоль цепочки побежит поперечная волна.
В жидкостях и газах упругая деформация сдвига не возникает. Если один слой жидкости или газа сместить на некоторое расстояние относительно соседнего слоя, то никаких касательных сил на границе между слоями не появится. Силы, действующие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. То же относится к газообразной среде. Следовательно, поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах .
Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны . Они характеризуются амплитудой колебания частиц, частотой и длиной волны . Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью .
Смещение частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты на оси , вдоль которой распространяется волна, и от времени по закону:
где – так называемое волновое число , – круговая частота.
На рис. 2.6.4 изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: и . За время волна переместилась вдоль оси на расстояние . Такие волны принято называть бегущими (в отличие от стоячих волн, см. далее).
«Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени и
Длиной волны называют расстояние между двумя соседними точками на оси , колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны , волна пробегает за период , следовательно, , где – скорость распространения волны.
Для любой выбранной точки на графике волнового процесса (например, для точки на рис. 2.6.4) с течением времени изменяется координата этой точки, а значение выражения не изменяется. Через промежуток времени точка переместится по оси на некоторое расстояние . Следовательно:
Таким образом, бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью – во времени и пространстве. Временной период равен периоду колебаний частиц среды, пространственный период равен длине волны . Волновое число является пространственным аналогом круговой частоты
Обратим внимание на то, что уравнение
описывает синусоидальную волну, распространяющуюся в направлении, противоположном направлению оси , со скоростью
В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой . Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Отсюда следует, что при распространении бегущей волны возникает поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.
Бегущие волны распространяются в средах с определенными скоростями, зависящими от типа волны, а также от инертных и упругих свойств среды.
Скорость поперечных волн в натянутой струне или резиновом жгуте зависит от погонной массы (т. е. массы единицы длины) и силы натяжения :
Скорость распространения продольных волн в безграничной среде определяется плотностью среды (т. е. массой единицы объема) и модулем всестороннего сжатия , который равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления и относительным изменением объема , взятому с обратным знаком:
Выражение для скорости распространения продольных волн в безграничных средах имеет вид
Например, при температуре скорость распространения продольных волн в воде , в различных сортах стали .
При распространении продольных волн в упругих стержнях в формулу для скорости волн вместо модуля всестороннего сжатия входит модуль Юнга (см. §1.12):
Для стали отличие от невелико, для других материалов оно может составлять и даже больше.
Модель. Продольные и поперечные волны
Если механическая волна, распространяющаяся в среде, встречает на своем пути какое-либо препятствие, то она может резко изменить характер своего поведения. Например, на границе раздела двух сред с разными механическими свойствами волна частично отражается, а частично проникает во вторую среду. Волна, бегущая по резиновому жгуту или струне отражается от неподвижно закрепленного конца; при этом появляется волна, бегущая во встречном направлении. В струне, закрепленной на обоих концах, возникают сложные колебания, которые можно рассматривать как результат наложения ( суперпозиции ) двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Колебания струн, закрепленных на обоих концах, создают звуки всех струнных музыкальных инструментов. Очень похожее явление возникает при звучании духовых инструментов, в том числе органных труб.
Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну .
Пусть струна длины закреплена так, что один из ее концов находится в точке , а другой – в точке (рис. 2.6.5). В струне создано натяжение .
Образование стоячей волны в струне, закрепленной на обоих концах
По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:
- – волна, бегущая справа налево;
- – волна, бегущая слева направо.
В точке (один из закрепленных концов струны) падающая волна в результате отражения порождает волну . При отражении от неподвижно закрепленного конца отраженная волна оказывается в противофазе с падающей. Согласно принципу суперпозиции , который является экспериментальным фактом, колебания, вызванные встречными волнами в каждой точке струны, складываются. Таким образом, результирующее колебание в каждой точке равно сумме колебаний, вызванных волнами 1 и 2 в отдельности. Следовательно,
Это и есть стоячая волна . В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами . Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями .
Оба неподвижных конца струны должны быть узлами. Приведенная выше формула удовлетворяет этому условию на левом конце (). Для выполнения этого условия и на правом конце (), необходимо чтобы , где – любое целое число. Это означает, что стоячая волна в струне возникает не всегда, а только в том случае, если длина струны равняется целому числу длин полуволн:
Набору значений длин волн соответствует набор возможных частот :
где – скорость распространения поперечных волн по струне. Каждая из частот и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой . Наименьшая частота называется основной частотой , все остальные () называются гармониками . На рис. 2.6.5 изображена нормальная мода для .
В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не транспортируется в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период ) превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Но в отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота струна обладает бесконечным числом собственных (резонансных) частот . На рис. 2.6.6 изображены несколько типов стоячих волн в струне, закрепленной на обоих концах.
Первые пять нормальных мод колебаний струны, закрепленной на обоих концах
В соответствии с принципом суперпозиции стоячие волны различных типов (т. е. с разными значениями ) могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.
