О чем речь? Можно с уверенностью назвать двоичную систему счисления одной из основных, которые используются в вычислительной технике. А значит, привычные нам компьютер и смартфон применяют 0 и 1 для расчетов.
На что обратить внимание? Стоит отметить, что такая «популярность» – это дань традиции, заложенной праотцом вычислительных машин Блезом Паскалем. И все же, порой, нужно переводить показатели двоичной системы в 10-ю или 16-ю. Как же это сделать?
В статье рассказывается:
- Общепринятые системы счисления
- Числа, используемые в двоичной системе счисления
- Сложение, вычитание и умножение в двоичной системе счисления
- Как переводить числа в двоичной системе счисления в десятичную
- Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
Пройди тест и узнай, какая сфера тебе подходит:
айти, дизайн или маркетинг.
Бесплатно от Geekbrains
Общепринятые системы счисления
Человечество в ходе своего развития со временем стало нуждаться в способах подсчета. Нужно было считать, например, количество добычи или убитых врагов из других племен. И эта нужда у древних людей только возрастала. Поначалу пользовались абстрактными понятиями типа «нисколько», «один», «много». Затем в употребление вошла «пара», означающая два каких-то предмета. Уже одно это нововведение существенно упростило жизнь древнему человеку.
В дальнейшем люди стали считать единицами, используя в качестве таковых пальцы на руках и ногах, зарубки на деревьях, кости зверей, узелки на веревках. Благодаря изобретению таких примитивных счетных машин человечество спустя тысячелетия смогло понять, что в древности люди умели не только считать, но также фиксировать результаты счета.
С течением времени возникла необходимость в символьном обозначении любого количества больше единицы. В итоге древними египтянами были впервые придуманы знаки, обозначающие 1, 5 и 10.
Система чисел, состоящая из определенных знаков (цифр), фактически и является системой счисления. Другими словами, это способ численного выражения с помощью принятых правил и специальных знаков, называемых цифрами.
Узнай, какие ИТ — профессии
входят в ТОП-30 с доходом
от 210 000 ₽/мес
Павел Симонов
Исполнительный директор Geekbrains
Команда GeekBrains совместно с международными специалистами по развитию карьеры подготовили материалы, которые помогут вам начать путь к профессии мечты.
Подборка содержит только самые востребованные и высокооплачиваемые специальности и направления в IT-сфере. 86% наших учеников с помощью данных материалов определились с карьерной целью на ближайшее будущее!
Скачивайте и используйте уже сегодня:
Вычитание в разных система счисления (2, 8, 16). Урок 6
Павел Симонов
Исполнительный директор Geekbrains
Топ-30 самых востребованных и высокооплачиваемых профессий 2023
Поможет разобраться в актуальной ситуации на рынке труда
Подборка 50+ бесплатных нейросетей для упрощения работы и увеличения заработка
Только проверенные нейросети с доступом из России и свободным использованием
ТОП-100 площадок для поиска работы от GeekBrains
Список проверенных ресурсов реальных вакансий с доходом от 210 000 ₽
Получить подборку бесплатно
Уже скачали 26170
Любая система счисления принадлежит к одной из двух категорий:
Позиционные СС
Конкретное значение числа определяется не только цифрами, но и их позицией. Сюда относят арабскую систему, где первый разряд справа отведен для единиц, второй разряд справа — для десятков, третий разряд справа — для сотен и т. д. Таким образом, для записи числа 475 необходимо в крайней правой позиции расположить пятерку (пять единиц), после нее — семерку (семь десятков) и затем — четверку (четыре сотни). Позиционными считаются также системы счисления с основаниями (2, 8, 16).
Непозиционные СС
Значение числа определяется только знаком (цифрой). Для обозначения единиц, десятков, сотен и тысяч используются отдельные символы. Наиболее показательным представителем данной группы является римская система счисления. Здесь имеется еще одна отличительная особенность. Для записи очень больших чисел необязательно использовать весь набор знаков — на такие случаи существуют функции сложения и вычитания.
К примеру, число 475 римскими цифрами может выглядеть как CCCCXXXXXXXIIIII либо, в сокращенном виде, как CDLXXV. В последнем варианте используются именно вычитание и прибавление. Значение цифры, стоящей слева от большего числа, отнимается соответственно от этого числа. Если эта цифра стоит справа, то значение прибавляется.
Впервые позиционная система счисления была введена в Вавилоне. Примечательно, что она была шестнадцатеричная. К 19 веку распространение получила двенадцатеричная система.
Прежде чем разбирать, как записывается двоичная система счисления, определимся с терминами. Алфавит любой СС состоит из знаков, обозначающих отдельные цифры. Основанием называют значение, равное количеству знаков для кодирования чисел и представляющее собой целое число от 2 и выше.
Когда рассматривается несколько разных СС, тип каждой из них обычно обозначается подстрочным знаком. По умолчанию, если не указано основание, число является десятичным. Позиция цифры в числе называется разрядом.
§5.2. Системы счисления. Арифметические действия в различных системах счисления.
Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны – это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.
Правило Счета:
- При сложении цифры суммируются по разрядам.
- В столбике запятая располагается под запятой. Справа от запятой свободные разряды заполняются нулями.
- Если при сложении двух цифр возникает избыток, то он переносится влево (в старший разряд) в виде единицы.
- Избыток в десятичной системе счисления возникает, если результат сложения больше или равен десяти.
- Избыток в двоичной системе счисления возникает, если результат сложения больше или равен двух.
- Избыток в восьмеричной системе счисления возникает, если результат сложения больше или равен восьми.
- Избыток в шестнадцатеричной системе счисления возникает, если результат сложения больше или равен шестнадцати.
- Не забудьте: В шестнадцатеричной системе счисления часть цифр записывается буквами.
Вычитание
Правило Счета:
- При вычитании цифры вычитаются по разрядам.
- В столбике запятая располагается под запятой. Справа от запятой свободные разряды заполняются нулями.
- Если при вычитании возникает недостаток (уменьшаемое меньше вычитаемого), то необходимо занять из старшего разряда. При этом старший разряд уменьшается на единицу. В младший разряд переходит число равное основанию системы счисления.
- В десятичной системе счисления переход при займе из старшего разряда дает в младшем разряде число десять.
- В двоичной системе счисления переход при займе из старшего разряда дает в младшем разряде число два.
- В восьмеричной системе счисления переход при займе из старшего разряда дает в младшем разряде число восемь.
- В шестнадцатеричной системе счисления переход при займе из старшего разряда дает в младшем разряде число шестнадцать.
- Не забудьте: В шестнадцатеричной системе счисления часть цифр записывается буквами.
Операция вычитания в разных системах счисления
Рассмотрим конкретный пример операции вычитания в десятичной системе счисления:
Рисунок 5. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Выполняем вычитание младших разрядов, то есть три минус один равно двум.
- Выполняем вычитание в следующем разрядом, от двух отнимаем нуль, получаем два.
- Необходимо из четырёх вычесть восемь. Выполняем заимствование единицы из старшего разряда и отнимаем от четырнадцати восемь. Результат равен шести.
- Поскольку было заимствование единицы, то из пяти вычитаем единицу и получаем четвёрку.
- Итоговый результат: 4622.
Рассмотрим пример вычитания в двоичной системе счисления:
Рисунок 6. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Выполняем вычитание младших разрядов, один минус один равно нулю.
- Вычитаем из единицы нуль, в итоге получаем единицу.
- Поскольку нуль меньше единицы, то выполняем заимствование единицы из старшего разряда и вычитаем из двойки единицу, Итогом будет единица.
- Итоговый результат: 110.
Рассмотрим пример вычитания в восьмеричной системе счисления:
Рисунок 7. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Выполняем вычитание из четырёх тройки, получаем единицу.
- Вычитаем из пяти нуль, итогом будет нуль.
- Нельзя из трёх вычесть семь, поэтому выполняем заимствование из старшего разряда. Вычитаем из одиннадцати семь и получаем в итоге четыре.
- Поскольку было заимствование единицы, то вычитаем из шести единицу и получаем пять.
- Итоговый результат: 5451.
Рассмотрим пример вычитания в шестнадцатеричной системе счисления:
Рисунок 8. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Выполняем вычитание из четырёх три и получаем один.
- Из пяти вычитаем нуль и получаем в итоге пять.
- Далее необходимо из трёх вычесть семь, что недопустимо и поэтому заимствуем единицу из старшего разряда. Вычитаем из девятнадцати семь и получаем двенадцать, что в шестнадцатеричной системе обозначается символом С.
- Так как была заимствована единица, то из шести вычитаем единицу. Итог равен пяти.
- Итоговый результат равен 5С51.
Операция умножения в разных системах счисления
Рассмотрим пример умножения в восьмеричной системе счисления:
Рисунок 9. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Умножаем младшие разряды, то есть пять на четыре, получаем двадцать. Число двадцать равно два по восемь (основание системы счисления) плюс четыре. То есть в данном разряде пишем четыре, а двойку переносим в следующий разряд. Выполняем это действие для остальных разрядов, в итоге получаем 40234.
- Умножаем на нуль, что в итоге дает четыре нуля.
- Выполняем по аналогии умножение на семь. Результатом будет число 55164.
- Выполняем суммирование всех произведений, что даёт 5556634. Это и есть итоговый результат умножения.
Рассмотрим пример умножения в шестнадцатеричной системе счисления:
Рисунок 10. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
- Выполняем умножение на младший разряд. Пять умножаем на четыре, получаем двадцать, что равно шестнадцати плюс четыре. Четыре пишется в данном разряде, единица переносится в следующий разряд.
- Аналогичные процедуры выполняются дальше, итог будет А334.
- Умножаем остальные разряды и затем всё суммируем.
- Итоговый результат будет 169В974.
Вычитание в двоичной системе счисления
Вычитание осуществляется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
При вычитании из меньшего числа большего производится заем из старшего разряда. В случаях, когда занимается единица старшего разряда, она дает две единицы младшего разряда. Если занимается единица через несколько разрядов, то она дает по одной единице во всех промежуточных нулевых разрядах и две единицы в том разряде, для которого занималась.
Вычитание в различных системах счисления
В двоичной системе счисления операция умножения сводится к сдвигам множимого с сложению промежуточного результата.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления – это система счисления, основанная на двух цифрах: 0 и 1. В отличие от десятичной системы, где каждая позиция имеет вес, в двоичной системе каждая позиция имеет вес, равный степени двойки.
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух цифр: 0 и 1. Каждая цифра в двоичной системе называется битом (от англ. binary digit). Например, число 1011 в двоичной системе означает 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 11 в десятичной системе.
Двоичная система счисления широко используется в компьютерах, так как компьютеры работают с двоичными сигналами (включено/выключено, 0/1). В двоичной системе счисления легко представлять и оперировать с двоичными числами, а также выполнять логические операции.
Перевод чисел из двоичной системы в другие системы счисления и наоборот, а также арифметические операции с двоичными числами будут рассмотрены в следующих пунктах лекции.
Восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления, также известная как октальная система, является позиционной системой счисления, в которой основание равно 8. В этой системе используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Каждая цифра в восьмеричной системе счисления представляет собой комбинацию трех двоичных цифр. Например, число 7 в восьмеричной системе счисления представляется как 111 в двоичной системе счисления.
Восьмеричная система счисления широко использовалась в компьютерах и программировании в прошлом, но сейчас ее использование сократилось. Однако, восьмеричная система все еще используется в некоторых областях, таких как права доступа к файлам и управление файловыми системами.
Перевод чисел из восьмеричной системы в другие системы счисления и наоборот, а также арифметические операции с восьмеричными числами будут рассмотрены в следующих пунктах лекции.
Вычетание в системах счисления
Вычитание в десятичной системе счисления
Вспомним, как мы это делаем в десятичной системе счисления.
- Начинаем слева направо, от меньшего разряда к большему. 2 – 1 = 1.
- 1 – 0 = 1.
- 3 – 9 = ? Тройка меньше девяти, поэтому позаимствуем единицу из старшего разряда. 13 – 9 = 4.
- Из последнего разряда мы взяли единицу для предыдущего действия, поэтому 4 – 1 = 3.
- Ответ: 3411.
Вычитание в двоичной системе счисления
- Начинаем как обычно. 1 – 1 = 0.
- 1 – 0 = 1.
- От 0 отнять единицу нельзя. Поэтому заберем один разряд у старшего. 2 – 1 = 1.
- Ответ: 110.
А теперь решите самостоятельно:
Вычитание в восьмеричной системе счисления
- Ничего нового, главное помнить алфавит. 4 – 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 11 – 7 = 4.
- Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5.
- Ответ: 5451.
Пример для самостоятельного решения:
Вычитание в шестнадцатеричной системе счисления
Возьмем предыдущий пример, и посмотрим каков будет результат в шестнадцатеричной системе. Такой же или другой?
- 4 – 3 = 1.
- 5 – 0 = 5.
- От 3 отнять 7 мы сразу не можем, для этого нам необходимо заимствовать единицу у более старшего разряда. 19 – 7 = 12. В шестнадцатеричной системе 12 = С.
- Помним, что заимствовали единицу ранее, 6 – 1 = 5
- Ответ: 5С51
Пример для самостоятельного решения:
Умножение в системах счисления
Умножение в десятичной системе счисления
Давайте запомним раз и навсегда, что умножение в любой системе счисления на единицу, всегда даст тоже самое число.
- Каждый разряд умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 6748;
- 6748 умножаем на 8 и получаем число 53984;
- Проделываем операцию умножения 6748 на 3. Получаем число 20244;
- Складываем все 3 числа, по правилам. Получаем 2570988;
- Ответ: 2570988.
Умножение в двоичной системе счисления
В двоичной системе умножать очень легко. Мы всегда умножаем либо на 0, либо на единицу. Главное, это внимательно складывать. Давайте попробуем.
- 1101 умножаем на единицу, как обычно справа налево, и получаем число 1101;
- Проделываем эту операцию еще 2 раза;
- Складываем все 3 числа внимательно, помним про алфавит, не забывая про лесенку;
- Ответ: 1011011.
Пример для самостоятельного решения:
Умножение в восьмеричной системе счисления
Есть небольшой лайфхак, как считать в восьмеричной системе. Давайте рассмотрим на примере:
- 5 х 4 = 20. А 20 = 2 х 8 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 2 держим в уме. Проделываем эту процедуру справа налево и получаем число 40234;
- При умножении на 0, получаем четыре 0;
- При умножении на 7, у нас получается число 55164;
- Теперь складываем числа и получаем – 5556634;
- Ответ: 5556634.
Пример для самостоятельного решения:
Умножение в шестнадцатеричной системе счисления
Все как обычно, главное вспомните алфавит. Буквенные цифры, для удобства переводите в привычную для себя систему счисления, как умножите, переводите обратно в буквенное значение.
Давайте для наглядности разберем умножение на 5 числа 20А4.
- 5 х 4 = 20. А 20 = 16 + 4. Остаток от деления записываем в число – это будет 4, а 1 держим в уме.
- А х 5 + 1 = 10 х 5 + 1 = 51. 51 = 16 х 3 + 3. Остаток от деления записываем в число – это будет 3, а 3 держим в уме.
- При умножении на 0, получаем 0 + 3 = 3;
- 2 х 5 = 10 = А; В итоге у нас получается А334; Проделываем эту процедуру с двумя другими числами;
- Помним правило умножения на 1;
- При умножении на В, у нас получается число 1670С;
- Теперь складываем числа и получаем – 169В974;
- Ответ: 169В974.
Пример для самостоятельного решения:
Двоичная арифметика
Выполнение арифметических действий в любых позиционных системах счисления производится по тем же правилам, которые используются в десятичной системе счисления.
Так же, как и в десятичной системе счисления, для выполнения арифметических действий необходимо знать таблицы сложения (вычитания) и умножения.
Таблица сложения, вычитания и умножения для двоичной системы счисления
| Сложение | Вычитание | Умножение |
| 0 + 0 = 0 | 0 — 0 = 0 | 0 ∙ 0 = 0 |
| 0 + 1= 1 | 1 — 0 = 1 | 0 ∙ 1 = 0 |
| 1 + 0 = 1 | 1 — 1 = 0 | 1 ∙ 0 = 0 |
| 1 + 1 = 10 | 10 — 1 = 1 | 1 ∙ 1 = 1 |
Сложение двоичных чисел
Сложение в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам, что и в десятичной. Два числа записываются в столбик с выравниванием по разделителю целой и дробной части и при необходимости дополняются справа незначащими нулями. Сложение начинается с крайнего правого разряда. Две единицы младшего разряда объединяются в единицу старшего.
Пример : Вычислить 1011,12 + 1010,112
Интересна также ситуация, когда складываются больше двух чисел. В этом случае возможен перенос через несколько разрядов.
Пример : Вычислить 111,12 + 1112 + 101,12
При сложении в разряде единиц (разряд 0) оказывается 4 единицы, которые, объединившись, дают 1002. Поэтому из нулевого разряда в первый разряд переносится 0, а во второй — 1. Аналогичная ситуация возникает во втором разряде, где с учетом двух перенесенных единиц получается число 5 = 1012. 1 остается во втором разряде, 0 переносится в третий и 1 переносится в четвёртый.
