В математике и программировании понятие системы счисления занимает очень важную роль. За столь умным названием кроется довольно простая идея. Система счисления – это способ записи (представления) чисел.
Иными словами, как записать любое сколь угодно большое число, имея в арсенале всего 10 цифр-символов? Правильно, комбинируя эти цифры друг с другом. Причём расположение цифры в записи числа имеет значение, ибо 123 не равно 321. Хотя цифры используются одинаковые.
Десятичная система счисления
В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, хоть и не задумываемся над этим. Просто так исторически сложилось. Десятичной она называется потому что для записи любого числа используется ровно 10 цифр.
Обратите внимание, что любое число в десятичной записи можно разбить на слагаемые и степени числа 10. Например:
123 = 100 + 20 + 3 = 1 * 10 ^ 2 + 2 * 10 ^ 1 + 3 * 10 ^ 0
// символ ^ означает возведение в степень
Однако помимо десятичной существуют другие системы счисления. И у каждой из них своя область применения.
Системы счисления, используемые в вычислительной технике
презентация к уроку по информатике и икт (9 класс) на тему
Презентация к уроку. Перевод чисел в двоичную систему и обратно. Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы. Перевод чисел. Задания вариантов ЕГЭ по данной теме.
 sistemy_schisleniya_ispolzuemye_v_vt.ppt | 1.33 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
СИСТЕМЫ Разработка: Клинковская М.В., учитель информатики и ИКТ МОУ гимназии № 7 г. Балтийска, 2008-09 уч.год СЧИСЛЕНИЯ СЧИСЛЕНИЯ используемые в ВТ
Система счисления — это способ записи чисел с помощью данного набора специальных знаков (цифр)
Десятичная система счисления Основание системы – число 10 Для записи чисел используется 10 знаков (цифры 0-9) Каждое число представляется в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами:
Двоичная система счисления Основание системы – число 2 Для записи чисел используется 2 знака (цифры 0 и 1) Каждое число представляется в виде суммы степеней числа 2 с коэффициентами.
Системы счисления Название Осно-вание Цифры Где используется Двоичная 2 0,1 В ЭВМ Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7 В ЭВМ Шестнадцатерич-ная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F В ЭВМ Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 В современной повседневной жизни Двенадцатеричная 12 (дюжина) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,знак,знак В мире до первой трети 20 века Пятеричная 5 0,1,2,3,4 В Китае
Перевод чисел из ДЕСЯТИЧНОЙ системы в ДВОИЧНУЮ и обратно Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную и обратно. Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную и обратно.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ для новичков
Пример 2. Перевести число 31 из десятичной системы в двоичную и обратно.
Пример 3. Перевести число 31 из десятичной системы в двоичную и обратно. Ответ:
Двоичная Восьмеричная 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Таблица 1.
Двоичная Шестнадцатеричная 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F
Сколько единиц в двоичной записи числа 371? 1) 7 2) 6 3) 3 4) 4 2. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 7С ? 1) 6 2) 2 3) 5 4) 4 3. Количество значащих нулей в двоичной записи числа 261 равно 1) 6 2) 8 3) 3 4) 5
Количество значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 150 равно 1) 5 2) 6 3) 3 4) 4 2. Количество значащих единиц в десятичной записи двоичного числа 1100101 равно 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 3. (41-2010)Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБАВ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) С3 2) АЕ 3) 7 F 4) D2
1 .(42-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ВАГА и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) 5А 2) 8С 3) F 1 4) АА 2. (43-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов АВГБ и записать результат восьмеричным кодом, то получится 1) 55 2) 125 3) 77 4) 256 3. (44-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБВА и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) 8С 2) D8 3) D0 4) АС
Литература: «Информатика» Энциклопедия «Аванта» Н. Угринович «Информатика. Базовый курс – 9» С.Бешенков, Е.Ракитина «Информатика. Систематический курс – 10» Н.В. Макарова «Информатика 7 –9» С.Симонович, Г.Евсеев «Занимательный компьютер», АСТ-Пресс, Москва, 2001. О.Л.Соколова «Поурочные разработки по информатике – 10», Москва, ВАКО,2006. Материалы сети Internet .
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
В повседневной жизни мы, как правило, пользуемся десятичной системой счисления. Но это лишь одна из многих систем, которая получила свое распространение, вероятно, по той причине, что у человека на руках 10 пальцев. Однако эта система не всегда удобна. Так, в вычислительной технике применяется двоичная система счисления.
Системой счисления называют совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, с помощью которых можно установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.
В разные исторические периоды развития человечества для подсчетов и вычислений использовались те или иные системы счисления. Например, довольно широко была распространена двенадцатеричная система. Многие предметы (ножи, вилки, тарелки, носовые платки и т. д.) и сейчас считают дюжинами. Число месяцев в году двенадцать. Двенадцатеричная система счисления сохранилась в английской системе мер (например, 1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам).
В древнем Вавилоне существовала весьма сложная шестидесятеричная система. Она, как и двенадцатеричная система, в какой-то степени сохранилась и до наших дней (например, в системе измерения времени: 1 час = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам, аналогично в системе измерения углов: 1 градус = 60 минутам, 1 минута = 60 секундам).
У некоторых африканских племен была распространена пятеричная система счисления, у ацтеков и народов майя, населявших в течение многих столетий обширные области американского континента, — двадцатеричная система. У некоторых племен Австралии и Полинезии встречалась двоичная система.
Десятичная система возникла в Индии. Впоследствии ее стали называть арабской потому, что она была перенесена в Европу арабами. Цифры, которыми мы теперь пользуемся, — арабские.
В разное время существовали и другие записи цифр, в настоящее время почти забытые. Однако до сих пор мы иногда встречаемся с записью чисел с помощью букв латинского алфавита, например на циферблатах часов, в книгах для обозначения глав или частей, на деловых бумагах для обозначения месяцев и т.д.
В вычислительной технике применяется двоичная система счисления. Основанием этой системы является число 2. Это означает, что для представления любого числа используются только две цифры, 0 и 1. Целесообраз ность применения двоичной системы в цифровой электронике объясняется тем, что базовый элемент любой электронной схемы имеет два состояния, которым можно приписать значения 0 и 1.
Рассмотрим для примера двоичное число 110010. Единицы и нули в двоичном числе называют разрядами (битами), а положение каждого бита определяет величину показателя степени основания 2, причем старший значащий разряд находится в числе слева, как и в десятичной системе, а младший — справа. Таким образом двоичное число 110010 в десятичной системе равно 1 x 2 5 +1 x 2 4 +0 x 2 3 +0 x 2 2 +1 x 2 1 +0 x 2 0 = 50. Обратное преобразование целого числа производится методом последовательного деления на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет равным 1. Число в двоичной системе счисления записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево.
Системы счисления, используемые в вычислительной технике
презентация к уроку по информатике и икт (9 класс) на тему
Презентация к уроку. Перевод чисел в двоичную систему и обратно. Двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы. Перевод чисел. Задания вариантов ЕГЭ по данной теме.
| sistemy_schisleniya_ispolzuemye_v_vt.ppt | 1.33 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
СИСТЕМЫ Разработка: Клинковская М.В., учитель информатики и ИКТ МОУ гимназии № 7 г. Балтийска, 2008-09 уч.год СЧИСЛЕНИЯ СЧИСЛЕНИЯ используемые в ВТ
Система счисления — это способ записи чисел с помощью данного набора специальных знаков (цифр)
Десятичная система счисления Основание системы – число 10 Для записи чисел используется 10 знаков (цифры 0-9) Каждое число представляется в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами:
Двоичная система счисления Основание системы – число 2 Для записи чисел используется 2 знака (цифры 0 и 1) Каждое число представляется в виде суммы степеней числа 2 с коэффициентами.
Системы счисления Название Осно-вание Цифры Где используется Двоичная 2 0,1 В ЭВМ Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7 В ЭВМ Шестнадцатерич-ная 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F В ЭВМ Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 В современной повседневной жизни Двенадцатеричная 12 (дюжина) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,знак,знак В мире до первой трети 20 века Пятеричная 5 0,1,2,3,4 В Китае
Перевод чисел из ДЕСЯТИЧНОЙ системы в ДВОИЧНУЮ и обратно Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную и обратно. Пример 1. Перевести число 25 из десятичной системы в двоичную и обратно.
Пример 2. Перевести число 31 из десятичной системы в двоичную и обратно.
Пример 3. Перевести число 31 из десятичной системы в двоичную и обратно. Ответ:
Двоичная Восьмеричная 000 0 001 1 010 2 011 3 100 4 101 5 110 6 111 7 Таблица 1.
Двоичная Шестнадцатеричная 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F
Сколько единиц в двоичной записи числа 371? 1) 7 2) 6 3) 3 4) 4 2. Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 7С ? 1) 6 2) 2 3) 5 4) 4 3. Количество значащих нулей в двоичной записи числа 261 равно 1) 6 2) 8 3) 3 4) 5
Количество значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 150 равно 1) 5 2) 6 3) 3 4) 4 2. Количество значащих единиц в десятичной записи двоичного числа 1100101 равно 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 3. (41-2010)Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБАВ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) С3 2) АЕ 3) 7 F 4) D2
1 .(42-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ВАГА и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) 5А 2) 8С 3) F 1 4) АА 2. (43-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов АВГБ и записать результат восьмеричным кодом, то получится 1) 55 2) 125 3) 77 4) 256 3. (44-2010) Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11 соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов ГБВА и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1) 8С 2) D8 3) D0 4) АС
Литература: «Информатика» Энциклопедия «Аванта» Н. Угринович «Информатика. Базовый курс – 9» С.Бешенков, Е.Ракитина «Информатика. Систематический курс – 10» Н.В. Макарова «Информатика 7 –9» С.Симонович, Г.Евсеев «Занимательный компьютер», АСТ-Пресс, Москва, 2001. О.Л.Соколова «Поурочные разработки по информатике – 10», Москва, ВАКО,2006. Материалы сети Internet .
Двоичная система счисления
В вычислительной технике широко распространена двоичная система счисления. Любое число в ней записывается как последовательность нулей и единиц. Это тесно связано с технической реализацией ячеек памяти в комьютере. 0 – низкий заряд, 1 – высокий. Каждая такая ячейка называется битом. Бит – это минимальная единица информации.
Рассмотрим несколько примеров:
«11» = 1 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 = 2
«101» = 1 * 2 ^ 2 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 = 5
«1111» = 1 * 2 ^ 3 + 1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 0 = 15
Если приглядеться повнимательнее, можно увидеть следующую закономерность. Двоичная запись числа – это сумма чисел, в котором цифра соответствующего разряда умножается на 2 в степени, равной индексу расположения этой цифры. Самая правая цифра умножается на 2 в степени 0, т.е. на 1. Самая левая – на 2 в степени, равной количеству цифр в записи числа минус 1.
Восьмеричная система счисления
Двоичная запись также не отличается компактностью. Поэтому логичным развитием двоичной системы в вычислительной технике стала восьмеричная. Так мы можем одной цифрой записать значение трёх бит. Общий принцип остался прежним, но теперь у нас используется не только 0 и 1, а все цифры от 0 до 7:
«10» = 1 * 8 ^ 1 + 0 * 8 ^ 0 = 8 + 0 = 8
«16» = 1 * 8 ^ 1 + 6 * 8 ^ 0 = 8 + 6 = 14
«123» = 1 * 8 ^ 2 + 2 * 8 ^ 1 + 3 * 8 ^ 0 = 64 + 16 + 3 = 83
Системы счисления
Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
Непозиционные системы счисления
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путём повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1–го класса счету. Рассмотрим различные системы счисления.
Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления. Российский рынок WMS-систем: оценки, перспективы и крупнейшие поставщики. Обзор TAdviser
Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.
Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum – сто, Demimille – половина тысячи, Мille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII=10+10+5+1+1+1 (два десятка, пяток, три единицы).
Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.
Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, . 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, . 90 применялись следующие 9 букв а для обозначения чисел 100, 200, . 900 – последние 9 букв.
У славянских народов числовые значения букв установились в порядке славянского алфавита, который использовал сначала глаголицу, а затем кириллицу.
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
- Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
- Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
- Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
Позиционные системы счисления
В позиционных системах счисления – количественный эквивалент каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в коде(записи) числа. Ныне мы привыкли пользоваться десятичной позиционной системой — числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д.
Например: 1) шестидесятеричная (Древний Вавилон)– первая позиционная система счисления. До сих пор при измерении времени используется основание равное 60 (1мин = 60с, 1ч = 60мин); 2) двенадцатеричная система счисления (широкое распространение получила в XIX в. число 12 – “дюжина”: в сутках две дюжины часов). Счёт не по пальцам, а по суставам пальцев. На каждом пальце руки, кроме большого, по 3 сустава – всего 12; 3) в настоящее время наиболее распространёнными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная (широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами).
В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.
Покажем, как представляют в виде многочлена десятичное число:
Типы систем счисления
Самое главное, что нужно знать о системе счисления – её тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет своё значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:
XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;
Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе:
(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.
2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425
Для аддитивной (“добавительной”) системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до 4-5 десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6).
Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется “десятичная”. В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, 10000 и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления – десятичная.
Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. “Но на одной то руке всего пять пальцев” – скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. “А с ногами – двадцать пальцев” – скажут другие, и будут тоже абсолютно правы. Именно так считали индейцы Майя. Это даже видно по их цифрам.
Очень интересно понятие “дюжина”. Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число – мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.
А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему.
В разных цивилизациях считали по–разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда–то использовавшихся этим народом.
Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как “четырежды двадцать”.
Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X – это две таких же руки.
Позиционные системы счисления
В системах счисления, которые содержат больше (10) знаков, после цифры (9) начинаются латинские буквы. (10), (11), (12) использовать мы не можем, т. к. это уже числа, а для продолжения алфавита нужны ещё цифры, поэтому было принято использовать латинские буквы.
Десятичная система счисления
Это самая распространённая система счисления в мире. Её применяют для повседневного счёта. Для записи чисел используются арабские цифры (0), (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9).
Обрати внимание!
Любое число позиционной системы счисления можно записать в развёрнутом виде. То есть в виде суммы произведений цифр числа на основание этой системы счисления с соответствующей степенью.
Представим десятичное число (652,17) в развёрнутом виде.
Сначала пронумеруем разряды числа, начиная с младшего — единиц. Нумерацию начинаем с (0). Цифра (2) находится в разряде единиц, ставим над ней (0), далее разряд десятков — над цифрой (5) ставим (1) и т. д.
6 2 5 1 2 0 , 1 − 1 7 − 2
Запишем сумму произведений цифр числа на основание системы счисления с соответствующей степенью:
652,17 10 = 6 × 10 2 + 5 × 10 1 + 2 × 10 0 + 1 × 10 − 1 + 7 × 10 − 2 .
Двоичная система счисления
Двоичные числа получили широкое применение в компьютерной технике. Два значения, используемые в двоичной системе счисления, позволяют идентифицировать два состояния: есть ток ((1)), нет тока ((0)); использовать булеву алгебру для работы логических устройств; легко производить арифметические операции.
Запишем двоичное число (111001,101) в развёрнутом виде.
111001,101 2 = 1 × 2 5 + 1 × 2 4 + 1 × 2 3 + 0 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 0 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 .
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
У двоичной системы счисления есть один недостаток. Разряды чисел очень быстро растут. Поэтому в компьютерной технике стали широко применять восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Компьютер легко переводит числа из одной системы счисления в другую.
Рассмотрим развёрнутую запись восьмеричного числа (452,214).
452,214 8 = 4 × 8 2 + 5 × 8 1 + 2 × 8 0 + 2 × 8 − 1 + 1 × 8 − 2 + 4 × 8 − 3 .
Знание алгоритма записи развёрнутой формы числа пригодится нам в будущем для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную.
