В какой цепи наблюдается резонанс токов запишите условие резонанса

Лекции и задачи по ТОЭ. На сайте представлен лекционный материал для изучения теоретических основ электротехники и видеоуроки по всем темам. Так же тут можно заказать решение задач, курсовых, расчетных, контрольных и домашних работ. Онлайн помощь на экзамене, контрольной. Решение тестов, занятия по скайпу и др. В ближайшее время на сайт будут добавлены готовые работы на разные темы ТОЭ, ТАУ и другим дисциплинам.

Теория / 6.2. Резонанс токов / 6.2.2. Резонанс в реальной цепи

Реальная катушка и реальный конденсатор обладают не только реактивным, но и активным сопротивлением. Катушка – сопротивлением обмотки, конденсатор – сопротивлением токам утечки. В этом случае при большой добротности катушки или конденсатора активное сопротивление может оказаться функцией частоты.

Под добротностью катушки будем понимать отношение её индуктивного сопротивления к активному.

Под добротностью конденсатора – отношение его емкостного сопротивления к активному

Рассмотрим цепь, содержащую реальные катушку и конденсатор, представленную на рис. 6.9.

Условием резонанса токов в такой цепи является равенство нулю реактивной проводимости b=0.

Комплексную проводимость цепи можно выразить через комплексные сопротивления ветвей:

При резонансе b =0, то есть

Из полученного выражения видно, что в отличие от идеальной цепи резонанс можно получить, регулируя не три параметра, а пять: w, L, C, R1, R2.

Решая уравнение (6.1) относительно частоты, получим выражение для резонансной частоты

Рассмотрим частные случаи:

1. RL=Rc, тогда резонансная частота будет равна

При резонансе в реальной цепи, так же, как и в идеальной, ток минимален и имеет чисто активный характер.

Векторная диаграмма для режима резонанса представлена на рис. 6.10.

Из диаграммы видно, что токи в ветвях, содержащих катушку и конденсатор, различны, но равны их реактивные составляющие.

Резонанс токов

Резонанс токов возникает в электрических цепях переменного тока при параллельном соединении ветвей с разнохарактерными (индуктивными и емкостными) реактивными сопротивлениями. В режиме резонанса токов реактивная индуктивная проводимость цепи оказывается равной ее реактивной емкостной проводимости, т.е. BL=BC.

Простейшей электрической цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является цепь с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора. Данная схема соответствует цепи, представленной на рис. 8, а, для которойR2 = 0, а R1=Rк (здесьRк – активное сопротивление катушки индуктивности). Полная проводимость такой цепиY=.

Условие резонанса токов (BL=BC) можно записать через соответствующие параметры электрической цепи. Так как реактивная проводимость катушки, имеющей активное сопротивлениеRк, определяется выражениемBL=XL/=L/(Rк 2 + 2 L 2 ), а проводимость конденсатора без учета его активного сопротивления (RC= 0)BC=XC/= 1/XC=C, то условие резонанса может быть записано в виде

РЕЗОНАНС ТОКОВ в идеальной и реальной цепях │Теория ч. 1

L/(+ 2 L 2 ) = C.

Из этого выражения следует, что резонанс токов в такой цепи можно получить при изменении одного из параметров Rк,L,Cипри постоянстве других. При некоторых условиях в подобных цепях резонанс может возникать и при одновременном изменении указанных параметров.

Простейшие резонансные цепи, состоящие из параллельно соединенных между собой катушки индуктивности и конденсатора, широко применяются в радиоэлектронике в качестве колебательных контуров, резонанс токов в которых достигается при некоторой определенной частоте поступающего на вход соответствующего устройства сигнала.

В лабораторных условиях наиболее часто резонанс токов достигается при неизменной индуктивности катушки L, путем изменения емкостиСбатареи конденсаторов. С изменением емкостной проводимостиBC=C, пропорциональной емкости конденсатора, происходит изменение полной проводимостиY, общего токаIи коэффициента мощности cos. Указанные зависимости приведены на рис. 10,a. Анализ этих зависимостей показывает, что при увеличении емкости от нуля полная проводимость электрической цепи сначала уменьшается, достигает при (BL=BC) своего минимума, а затем возрастает с увеличениемС, в пределе стремясь к бесконечности. Общий токI=YU, потребляемый цепью, пропорционален полной проводимости. Поэтому характер его изменения подобен характеру изменения проводимости.

Коэффициент мощности cosс увеличением емкости сначала возрастает, а затем уменьшается, в пределе стремясь к нулю, так как cos=G/Y. В результате анализа указанных зависимостей можно установить, что резонанс токов характеризуется следующими явлениями.

1. При резонансе токов полная проводимость всей электрической цепи приобретает минимальное значение и становится равной активной ее составляющей:

Y = =G.

2. Минимальное значение проводимости обусловливает минимальное значение тока цепи:

I = YU = GU.

3. Емкостный ток ICи индуктивная составляющаяIL тока катушкиIкоказываются при этом равными по величине, а активная составляющая тока катушкиIа1 становится равной токуI, потребляемому из сети:

Iр1 = IL = BLU = BCU = IC = Iр2; Iа = Iа1 =GU = YU =I.

При этом реактивные составляющие токов IL иICв зависимости от значений реактивных проводимостей могут приобретать теоретически весьма большие значения и намного превышать токI, потребляемый электрической цепью из сети.

4. Реактивная составляющая полной мощности цепи при BL=BCоказывается равной нулю:

Q = BLU 2  BCU 2 = QL  QC = 0.

При этом индуктивная и емкостная составляющие реактивной мощности также могут приобретать весьма большие значения, оставаясь равными друг другу.

5. Полная мощность цепи при резонансе равна ее активной составляющей:

S = YU 2 = GU 2 = P.

6. Коэффициент мощности всей цепи при резонансе:

cos = P/S = GU 2 /YU 2 = 1.

Напряжение и ток электрической цепи при резонансе токов совпадают по фазе. Векторная диаграмма, построенная для условий резонанса токов и применительно к рассматриваемой цепи, представлена на рис. 10, б. В табл. 2 методических указаний по выполнению работы обозначениямIL, IK, IC соответствуют обозначенияIр1, I1, Iр2 на векторной диаграмме токов (рис. 10,б).

Резонанс токов находит широкое применение в силовых электрических цепях для повышения коэффициента мощности, так как это имеет большое технико-экономическое значение. Большинство промышленных потребителей переменного тока имеют активно-индуктивный характер; некоторые из них работают с низким коэффициентом мощности и потребляют значительную реактивную мощность. К таким потребителям могут быть отнесены асинхронные двигатели (особенно работающие с неполной нагрузкой), установки электрической сварки, высокочастотной закалки и т.д. Для уменьшения реактивной мощности и повышения коэффициента мощности параллельно потребителю включают батарею конденсаторов. Реактивная мощность конденсаторной батарей снижает общую реактивную мощность установки и тем самым увеличивает коэффициент мощности. Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах за счет снижения его реактивной составляющей и, соответственно, к уменьшению потерь энергии в генераторе и подводящих проводах.

Резонанс напряжений

При последовательном соединении активного элемента $r$, емкостного $С$ и индуктивного $L$ в цепях переменного тока может возникать такое физическое явление, как резонанс напряжений. Колебания источника напряжения в этом случае будут равны по частоте колебаниям контура. При этом известна как полезность (например, в радиотехнике) этого явления, так и негативные последствия (для электрических установок большой мощности), например, при резком скачке напряжения в системах возможно возникновение неисправности или даже пожара.

Резонанс напряжений обычно достигается тремя способами:

  • подбором индуктивности катушки;
  • подбором емкости конденсатора;
  • подбором угловой частоты $w_0$.

При этом все значения емкости, частоты и индуктивности определяются с использованием формул:

Частота $w_0$ считается резонансной. При условии неизменности в цепи и напряжения, и активного сопротивления $r$, сила тока при резонансе напряжения в ней окажется максимальной и равной:

Это предполагает полную независимость силы тока от реактивного сопротивления цепи. В ситуации, когда реактивные сопротивления $XC = XL$ по своему значению будут превосходить активное сопротивление $r$, на зажимах катушки и конденсатора появится напряжение, существенно превосходящее напряжение на зажимах цепи.

Кратность превышения на зажимах емкостного и индуктивного элемента напряжения по отношению к сети определяется выражением:

Величина $Q$ характеризует резонансные свойства контура, называясь при этом добротностью контура. Также резонансные свойства характеризуются величиной $frac$, то есть — затуханием контура.

Резонанс токов через реактивные элементы

Резонанс токов появляется в электроцепях цепях переменного тока при условии параллельного соединения ветвей с разнохарактерными реактивными сопротивлениями. В резонансном режиме токов реактивная индуктивная проводимость цепи будет равнозначной ее собственной реактивной емкостной проводимости, т.е. $BL = BC$.

Колебания контура, частота которых имеет определённое значение, в данном случае совпадают по частоте с источником напряжения.

Простейшей электроцепью, в которой мы наблюдаем резонанс токов, считается цепь с параллельным соединением конденсатора с катушкой индуктивности.

Поскольку сопротивления реактивности равнозначны по модулю, амплитуды токов $I_c$ и $I_u$ будут одинаковыми и смогут достигать максимальной амплитуды. На основании первого закона Кирхгофа $IR$ равен току источника. Ток источника, иными словами, протекает только через резистор. При рассмотрении отдельного параллельного контура $LC$, на резонансной частоте его сопротивление оказывается бесконечно большим: $ZL = ZC$. При установлении гармонического режима с резонансной частотой, в контуре наблюдается обеспечение источником установившейся определенной амплитуды колебаний, а мощность источника тока при этом расходуется исключительно на пополнение потерь в активном сопротивлении.

Таким образом, у последовательной $RLC$ цепи импеданс оказывается минимальным на резонансной частоте и равным активному сопротивлению контура. В то же время, у параллельной $RLC$ цепи импеданс максимальный на резонансной частоте и считается равным сопротивлению утечки, фактически также активному сопротивлению контура. С целью обеспечения условий для резонанса силы тока или напряжения, требуется проверка электрической цепи для предопределения ее комплексного сопротивления или проводимости. Помимо этого, её мнимая часть должна приравниваться к нулю.

Электротехника

3.18-13.jpg

Резонанс напряжений возникает в цепи переменного тока при пос­ледовательном соединении емкостной и индуктивной нагрузки. Из физи­ки известно, что резонанс возникает в том случае, когда частота вынужда­ющей ЭДС равна собственной частоте колебательного контура (электри­ческой цепи), т.е. ω = ω 0 . А так как то, подставив ω вместо ω 0 , получим

Следовательно, резонанс напряжений возникает в цепи при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. В режиме резонанса полное сопротивление цепи принимает минимальное значение и является чисто активным:

а ток в цепи в режиме резонанса принимает максимальное значение

При максимальном значении тока в цепи падение напряжения на ем­костном и индуктивном сопротивлениях также принимает максимальное значение:

U L = I рез X L ; U C = I рез X C

Таким образом, при возникновении в цепи резонанса на зажимах ка­тушки и конденсатора создаются большие напряжения, способные про­бить изоляцию.

Для демонстрации резонан­са напряжения собираем элект­рическую цепь из ЛATPa, бата­реи конденсаторов (20-30 мкФ) и катушки индуктивности (ка­тушка школьного трансформа­тора), амперметра и двух вольт­метров (рис. 3.14). Поддерживая автотрансформатором напряже­ние постоянным 40-50 В и из меняя индуктивность катушки путем сдвигания сердечника трансформатора, заметим наибольшее показание амперметра. Дальней­шее увеличение или уменьшение XL ведет к уменьшению тока в цепи и напряжения на емкостном и индуктивном сопротивлениях.

рис3,14.jpg

Резонанс напряжений можно получить также путем изменения емко­сти батареи конденсаторов или частоты подведенного напряжения, ос­тавляя индуктивность катушки постоянной. Падение напряжения на ем­кости и индуктивности при резонансе в несколько раз превышает подве­денное к цепи напряжение. Казалось бы, напряжение на участках цепи при последовательном соединении не должно превышать подведенного. Это правило Кирхгофа справедливо и при резонансе, однако нужно иметь в виду не арифметическую, а геометрическую сумму напряжений отдель­ных участков цепи. Так как напряжение на индуктивном сопротивлении опережает ток по фазе на 90°, а на емкостном — отстает на 90°, то эти напряжения противофазны и при резонансе друг друга компенсируют. Подведенное напряжение приходится на активное сопротивление цепи, этим и объясняется тот факт, что сдвиг фаз между током и напряжением при резонансе равен нулю.

Резонанс токов возникает в электрической цепи при параллельном соединении емкостного и индуктивного сопротивлений (рис. 3.15, а) и равенстве собственной частоты электрической цепи и частоты подключенного напряжения, т. е. ω = ω 0 , где , что соответствует X L = X C .

Поскольку эти сопротивления подключены параллельно, то реак­тивные токи (индуктивный и емкостный) в каждый момент времени бу­дут равны по абсолютному значению и противоположны по направле­нию. Индуктивный ток отстает от напряжения на 90°, а емкостный — опе­режает его на 90° (рис. 3.15, б).

рис3,15.jpg

Пусть в ветви с индуктивностью имеется и активное сопротивление, что практически соответствует подключению электродвигателя, транс­форматора или дросселя. В ветви с емкостным сопротивлением ток опре­деляется по формуле

В ветви с индуктивностью ток равен

и состоит из активной I a1 = I 1 × cos φ 1 , и индуктивной I L 1 = I L 1 × sin φ 1 составляю­щих. В режиме резонанса индуктивная составляющая тока первой ветви равна по величине и противоположна по направлению емкостной состав­ляющей ветви.

Ток в подводящих проводах будет состоять только из активной со­ставляющей тока цепи, т. е.

При резонансе тока реактивные токи замыкаются в параллельном контуре и могут в десятки раз превышать ток в подводящих проводах. Сдвиг фаз между общим током и напряжением равен нулю, a cos φ = 1.

Режим резонанса токов имеет большое практическое значение в элек­тротехнике и радиотехнике.

Изменение тока в цепи при па­раллельном соединении емкостно­го и индуктивного сопротивлений в зависимости от частоты тока изображено на графике (рис. 3.16).

3.18-15.jpg

рис3,16.jpg

Для демонстрации резонанса токов собираем электрическую цепь с параллельным включением батареи конденсаторов и катушки индуктивности (см. рис. 3.15). Из­меняя емкость батареи конденсато­ров при постоянной индуктивнос­ти катушки или индуктивность при постоянной емкости, добиваемся ми­нимального показания амперметра, включенного в неразветвленную часть цепи, что соответствует резонансу токов. При этом приложенное напря­жение необходимо поддерживать постоянным.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называется резонансом напряжений?

2. При каких условиях возникает резонанс напряжений?

3. Почему при резонансе напряжений ток в цепи принимает максимальное значение?

4. Почему падение напряжения на емкостном и индуктивном сопротивлениях при резонансе напряжений принимает максимальное значение?

5. Почему арифметическая сумма напряжений на отдельных участ­ках цепи превышает подведенное напряжение?

6. Чему равен сдвиг фаз между током и напряжением в режиме резонанса?

7. При каких условиях возникает резонанс токов?

8. Чему равен ток в неразветвленной части цепи при резонансе?

Применение

Практически вся силовая электротехника использует именно такой колебательный контур, скажем, силовой трансформатор. Также схема необходима для настройки работы телевизора, емкостного генератора, сварочного аппарата, радиоприемника, её применяет технология «согласование» антенн телевещания, где нужно выбрать узкий диапазон частот некоторых используемых волн. Схема RLC может быть использована в качестве полосового, режекторного фильтра, для датчиков для распределения нижних или верхних частот.

Резонанс даже использует эстетическая медицина (микротоковая терапия), и биорезонансная диагностика.

Принцип резонанса токов

Мы можем сделать резонансную или колебательную схему в собственной частоте, скажем, для питания конденсатора, как демонстрирует следующая диаграмма:

схема для питания конденсатора

Переключатель будет отвечать за направление колебаний.

переключатель резонансной схемы

Конденсатор сохраняет весь ток в тот момент, когда время = 0. Колебания в цепи измеряются при помощи амперметров.

ток в резонансной схеме равен нулю

Направленные частицы перемещаются в правую сторону. Катушка индуктивности принимает ток из конденсатора.

Когда полярность схемы приобретает первоначальный вид, ток снова возвращается в теплообменный аппарат.

Теперь направленная энергия снова переходит в конденсатор, и круг повторяется опять.

В реальных схемах смешанной цепи всегда есть некоторое сопротивление, которое заставляет амплитуду направленных частиц расти меньше с каждым кругом. После нескольких смен полярности пластин, ток снижается до 0. Данный процесс называется синусоидальным затухающим волновым сигналом. Как быстро происходит этот процесс, зависит от сопротивления в цепи. Но при этом сопротивление не изменяет частоту синусоидальной волны. Если сопротивление достаточно высокой, ток не будет колебаться вообще.

Обозначение переменного тока означает, что выходя из блока питания, энергия колеблется с определенной частотой. Увеличение сопротивления способствует к снижению максимального размера текущей амплитуды, но это не приводит к изменению частоты резонанса (резонансной). Зато может образоваться вихретоковый процесс. После его возникновения в сетях возможны перебои.

Резонанс взаимной индукции

Определим резонансные частоты и частотные характеристики в цепи, изображенной на рис. 3.23.

В радиотехнике и в технике связи часто используют явление резонанса в индуктивно связанных колебательных контурах с большой добротностью. В связи с этим для упрощения расчета пренебрежем активным сопротивлением вторичного контура.

Собственные частоты контуров, при которых в них наступает резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны:

Рис. 13. Индуктивно-связанные контуры

Имеем уравнения рассматриваемой цепи

Выражая из второго уравнения через и подставляя в первое уравнение, получаем

Условием резонанса напряжений будет равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления, т.е. x1Э = 0, откуда

Разделив на (щL1щL2) обе части этого выражения, получим

где есть квадрат коэффициента связи, причем k 2 < 1.

Решая это уравнение относительно щ, найдем частоты и , отвечающие резонансу напряжений, из выражения

где щрез равна либо , либо .

Если оба контура предварительно были настроены на одну частоту щ1 = щ2 = щ0, то частоты и находятся из выражения , т.е. они оказываются равными

При частотах и сопротивление цепи оказывается минимальным и равным r1, а ток I1достигает максимальных значений: I1= U1/r1.

При щ = щ0 имеем х1Э = и ток I1=0. Это можно пояснить следующим образом: при частоте щ0 имеет место резонанс во вторичном контуре х2= щL2 — 1/( щC2)=0, и при условии r2 = 0 получается z2 = 0. Как видно из уравнения для второго контура, при конечном значении тока ЭДС взаимной индукции должна быть равна нулю, т.е. I1=0. Ток устанавливается таким, чтобы ЭДС взаимной индукции со стороны второго контура уравновесила приложенное к первому контуру напряжение, что видно из первого уравнения при I1 = 0. Этот случай по своему характеру аналогичен резонансу токов в контуре без потерь.

На рис. 14 представлена частотная характеристика I1(щ) при U1 = const, а также частотная характеристика x1Э(щ).

Частотные характеристики

Рис. 14. Частотные характеристики: I1(щ) при U1 = const и x1Э(щ)

Полюсами функции x1Э(щ) являются частоты щ = 0, щ = щ0 и щ = . Ее нулями являются частоты щ =и щ =. В соответствии со сказанным в предыдущем разделе во всем диапазоне частот соблюдается условие dx1Э/dщ > 0 и полюсы и нули чередуются. Штриховыми линиями показаны частотные характеристики при r2 ? 0. Таким образом, резонансная кривая I1 = F1(щ) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.

Трансформаторные подстанции высочайшего качества


Резонансом в электрических цепях называется режим участка электрической цепи, содержащей индуктивный и емкостной элементы, при котором разность фаз между напряжением и током равна нулю . Режим резонанса может быть получен при изменении частоты питающего напряжения или изменением параметров элементов L и С.
При последовательном соединении возникает резонанс напряжения.

Последовательное соединение R, L, C.

Знаменатель данного выражения есть модуль комплексного сопротивления, который зависит от частоты. При достижении некоторой частоты реактивная составляющая сопротивления исчезает, модуль сопротивления становится минимальным, ток в данной схеме возрастает до максимального значения, причем вектор тока совпадает с вектором напряжения по фазе:

Максимальная амплитуда силы тока достигается при условии минимума полного сопротивления, т. е. при


где
— резонансная частота напряжения, определяемая из условия

При последовательном соединении в цепь конденсатора и соленоида силы токов в каждом из участков цепи, как известно, равны. Поэтому, умножив левую и правую части последнего соотношения на силу тока Im , получим

В этом выражении слева — амплитуда напряжения на концах соленоида, а справа — амплитуда напряжения на обкладках конденсатора.
Мы видим, что . Отсюда получаем

Знак минус указывает на то, что колебания напряжения на участках с индуктивностью и емкостью происходят в противофазе.
Режим электрической цепи при последовательном соединении индуктивности и емкости, характеризующийся равенством напряжений на индуктивности и емкости, называют резонансом напряжений .

Волновое или характеристическое сопротивление последовательного контура

Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению на входе в режиме резонанса называется добротностью контура :

Добротность контура представляет собой коэффициент усиления по напряжению и в катушках индуктивности может достигать сотен единиц:

При напряжение на индуктивности (или емкости) может быть гораздо больше напряжения на входе, что широко используется в радиотехнике. В промышленных сетях резонанс напряжений является аварийным режимом, так как увеличение напряжения на конденсаторе может привести к его пробою, а рост тока — к нагреву проводов и изоляции.

Резонанс токов

При параллельном соединении конденсатора и соленоида (смотри рисунок), так же как и при последовательном, сила тока в цепи зависит от значений емкости и индуктивности. При изменении емкости и индуктивности при определенном их соотношении сила тока в неразветвленном участке цепи оказывается минимальной (практически близкой к нулю).
В этом случае:

Параллельное соединение реактивных элементов


При определенной частоте, называемой резонансной, реактивные составляющие проводимости могут сравняться по модулю и суммарная проводимость будет минимальной. Общее сопротивление при этом становится максимальным, общий ток минимальным, вектор тока совпадает с вектором напряжения. Такое явление называется резонансом токов .
Волновая проводимость

При ток в ветви с индуктивностью гораздо больше общего тока, поэтому такое явление называется резонансом токов и широко используется в силовых сетях промышленных предприятий для компенсации реактивной мощности.
Резонансную частоту тока найдем из условия равенства реактивных проводимостей ветвей.

После ряда преобразований получим:

Из формулы следует, что:

1) резонансная частота зависит от параметров не только реактивных сопротивлений, но и активных;
2) резонанс возможен, если и больше или меньше ρ , в противном случае частота будет мнимой величиной и резонанс невозможен;
3) если , то частота будет иметь неопределенное значение, что означает возможность существования резонанса на любой частоте при совпадении фаз напряжения питания и общего тока;
4) при резонансная частота напряжения равна резонансной частоте тока.

Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам, происходящим при резонансе напряжений.
Реактивная энергия циркулирует внутри цепи: в одну часть периода энергия магнитного поля индуктивности переходит в энергию электрического поля емкости, в следующую часть периода происходит обратный процесс.
При резонансе токов реактивная мощность равна нулю.
Большинство промышленных потребителей переменного тока носит активно-индуктивный характер и, следовательно, потребляет реактивную мощность. К таким потребителям относятся асинхронные двигатели, установки электрической сварки и т.д.
Для уменьшения реактивной мощности и повышения коэффициента мощности параллельно потребителю включают батарею конденсаторов, что приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих потребителя с источником энергии .

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий