С помощью какой математической операции можно найти последнюю цифру двоичной записи числа

Содержание

Унарная система чрезвычайно неэффективна для записи больших чисел. Поэтому мы по большей части будем использовать вышеописанную двоичную систему. Однако, сделать это напрямую и попытаться читать ленту просто как двоичное число мы не сможем. Дело в том, что мы не имеем возможности сказать, когда кончается двоичное представление числа и начинается бесконечная последовательность нулей справа, которая отвечает пустой ленте. Нам нужен способ как-то обозначать конец двоичной записи числа. Более того, часто нам будет нужно вводить в машину несколько чисел, как, например, в случае с алгоритмом Евклида, когда требуется пара чисел[41]. Но в двоичном представлении мы не можем отличить пробелы между числами от нулей или строчек нулей, входящих в записи этих двоичных чисел. К тому же, помимо чисел нам может понадобиться и запись всевозможных сложных инструкций на той же ленте. Для того чтобы преодолеть эти трудности, воспользуемся процедурой, которую я буду в дальнейшем называть сокращением и согласно которой любая строчка нулей и единиц (с конечным числом единиц) не просто считывается как двоичное число, но замещается строкой из нулей, единиц, двоек, троек и т. д. таким образом, чтобы каждое число в получившейся строчке соответствовало числу единиц между соседними нулями в исходной записи двоичного числа. Например, последовательность

Мы теперь можем считывать числа 2, 3, 4… как метки или инструкции определенного рода. Действительно, пусть 2 будет просто «запятой», указывающей на пробел между двумя числами, а числа 3, 4, 5… могли бы по нашему желанию символизировать различные инструкции или необходимые обозначения, как, например, «минус», «плюс», «умножить», «перейти в позицию со следующим числом», «повторить предыдущую операцию следующее число раз», и т. п. Теперь у нас есть разнообразные последовательности нулей и единиц, разделенные цифрами большей величины. Эти последовательности нулей и единиц будут представлять собой обычные числа, записанные в двоичной форме. Тогда записанная выше строка (при замене двоек «запятыми») примет вид:

(двоичное число 1001 ) запятая (двоичное число 11 ) запятая….

Используя обычные арабские числа «9», «3», «4», «0» для записи соответствующих двоичных чисел 1001 , 11 , 100 и 0 , получаем новую запись всей последовательности в виде: 9, 3, 4 (инструкция 3) 3 (инструкция 4) 0.

Такая процедура дает нам, в частности, возможность указывать, где заканчивается запись числа (и тем самым отделять ее от бесконечной полосы пустой ленты справа), просто используя запятую в конце этой записи. Более того, она позволяет закодировать любую последовательность натуральных чисел, записанных в двоичной системе, как простую последовательность нулей и единиц, в которой для разделения чисел мы используем запятые. Посмотрим, как это сделать, на конкретном примере. Возьмем последовательность

В двоичном представлении она эквивалентна последовательности

Программирование на С++. Урок 5. Последняя цифра числа

101, 1101, 0, 1, 1, 100,

что на ленте можно записать с помощью операции расширения (обратной по отношению к описанной выше процедуре сокращения) как

Такое кодирование легко выполнить, если в исходной двоичной записи чисел провести следующие замены:

0 0

1 1 0

, 1 10

и после этого добавить бесконечные последовательности нулей с обеих сторон вновь полученной записи. Чтобы сделать более понятной эту процедуру в применении к нашему примеру, разделим полученные двоичные числа пробелами:

0000 10 0 10 110 10 10 0 10 110 0 110 10 110 10 110 10 0 0 110 00.

Я буду называть этот способ представления (наборов) чисел расширенной двоичной записью. (Так, в частности, в расширенной двоичной форме записи число 13 выглядит как 1010010 .)

Есть еще одно, последнее, замечание, которое надо сделать в связи с этой системой записи. Это не более, чем техническая деталь, но она необходима для полноты изложения[42]. Двоичная (или десятичная) запись натуральных чисел в некоторой степени избыточна в том смысле, что нули, расположенные слева от записи числа, «не считаются» и обычно опускаются, так что 00110010 представляет собой то же самое двоичное число, что и 110010 (а 0050 — то же самое десятичное число, что и 50). Эта избыточность распространяется и на нуль, который может быть записан и как 000, и как 00, и, конечно, как 0 . На самом деле и пустое поле, если рассуждать логически, должно обозначать нуль! В обычном представлении это привело бы к большой путанице, но в описанной выше системе кодирования никаких затруднений не возникает: нуль между двумя запятыми можно записать просто в виде двух запятых, следующих подряд (»). На ленте такой записи будет соответствовать код, состоящий из двух пар единиц, разделенных одним нулем:

Тогда исходный набор из шести чисел может быть записан в двоичной форме как

и на ленте при кодировании в расширенной двоичной форме мы получим последовательность

в которой на один нуль меньше по сравнению с предыдущим кодом того же набора.

Теперь мы можем рассмотреть машину Тьюринга, реализующую, скажем, алгоритм Евклида в применении к паре чисел, записанных в расширенной бинарной форме. Для примера возьмем ту же пару чисел — 6 и 8, которую мы брали ранее. Вместо прежней унарной записи

воспользуемся двоичным представлением 6 и 8, т. е. 110 и 1000, соответственно. Тогда эта пара имеет вид

6, 8, или в двоичной форме 110, 1000,

и в расширенной двоичной записи на ленте она будет выглядеть следующим образом

Для этой конкретной пары чисел двоичная форма записи не дает никакого выигрыша по сравнению с унарной. Предположим, однако, что мы берем для вычислений (десятичные) числа 1 583 169 и 8610. В двоичной записи они имеют вид

На ленте при расширенном двоичном кодировании им будет соответствовать последовательность

которая занимает менее двух строк, тогда как для унарной записи пары чисел «1 583 169, 8610» не хватило бы места на страницах этой книги!

Машину Тьюринга, выполняющую алгоритм Евклида для чисел, записанных в расширенной двоичной форме, при желании можно получить из EUC с помощью пары дополнительных алгоритмов, которые переводили бы числа из расширенной двоичной формы в унарную и обратно. Однако, такой подход чрезвычайно неэффективен, ибо громоздкость унарной системы записи была бы по-прежнему «внутренне» присуща всему устройству, что проявилось бы в его низком быстродействии и потребности в огромном количестве «черновиков» (на левой стороне ленты). Можно построить и более эффективную машину Тьюринга для алгоритма Евклида, оперирующую исключительно расширенными двоичными числами, но для понимания принципов ее работы это не особенно важно.

Для того чтобы показать, каким образом машина Тьюринга может работать с числами в расширенном двоичном представлении, обратимся к значительно более простой, чем алгоритм Евклида, процедуре — просто прибавлению единицы к произвольному натуральному числу. Ее можно выполнить с помощью следующей машины Тьюринга (которую я назову XN + 1 ):

00 00R

01 11R

10 00R

11 101R

100 110L

101 101R

110 101 .STOP

111 1000L

1000 1011L

1001 1001L

1010 1100R

1011 101R

1101 1111R

1110 111R

1111 1110R

И вновь некоторые дотошные читатели могут захотеть проверить, вправду ли эта машина Тьюринга действует так, как должна, если взять, скажем, число 167 . Это число имеет двоичное представление 10100111 и записывается на ленте как

Чтобы прибавить единицу к двоичному числу, мы просто находим в его записи последний нуль и меняем его на единицу, а все непосредственно следующие за ним единицы — на нули. Так что

в двоичной форме записывается в виде

10100111 + 1 = 10101000.

Таким образом, наша «прибавляющая единицу» машина Тьюринга должна превратить предыдущую запись на ленте в

что она и делает.

Обратите внимание, что даже самая простая операция прибавления единицы в такой записи выглядит довольно сложно, включая в себя 15 инструкций и восемь различных внутренних состояний! Конечно, в случае унарной записи все было значительно проще, поскольку тогда «прибавление единицы» означало удлинение строчки единиц еще на одну, поэтому не удивительно, что машина UN +1 была более простой. Однако, для очень больших чисел UN + 1 была бы слишком медленной из-за чрезмерной длины ленты, и тогда более сложная машина XN + 1 , но работающая с более компактным расширенным двоичным представлением, оказалась бы предпочтительнее.

Несколько отступая в сторону, я укажу операцию, для которой машина Тьюринга проще в расширенной двоичной, нежели в унарной форме — это умножение на два . Действительно, машина Тьюринга XN х 2 , заданная в виде

00 00R

01 10R

10 01R

11 100R

100 111R

110 01 .STOP

запросто выполнит эту операцию в расширенной двоичной форме, тогда как соответствующая унарная машина UN х 2 , описанная ранее, гораздо сложнее!

Этот раздел дает определенное представление о том, на что способны в простейших случаях машины Тьюринга. Как и следовало ожидать, при выполнении более или менее сложных операций эти машины могут становиться, и действительно становятся, несравненно более сложными. Каковы же принципиальные возможности таких устройств? Мы рассмотрим этот вопрос в следующем параграфе.

Тезис Черча — Тьюринга

После ознакомления с принципами построения простых машин Тьюринга легко убедиться, что все основные математические операции, такие как сложение двух чисел, их перемножение или возведение одного из них в степень другого, могут на самом деле быть выполнены соответствующими машинами Тьюринга. Построение таких машин в явном виде не представляет больших затруднений, но я не собираюсь сейчас этим заниматься. Машины Тьюринга могут выполнять операции, результат которых выражается парой натуральных чисел, например, деление с остатком, или сколь угодно большим, но конечным множеством чисел. Более того, можно сконструировать такие машины Тьюринга, для которых арифметические операции не предопределены заранее, а могут задаваться инструкциями, вводимыми с ленты. При этом возможно, что та конкретная операция, которая должна быть выполнена, будет зависеть в тот или иной момент от результатов вычислений, которые машина должна была выполнить на предыдущих этапах. («Если результат вычислений больше, чем то-то, надо сделать то-то, в противном случае выполнить то-то».) Убедившись, что можно построить машины Тьюринга, выполняющие арифметические или простые логические операции, уже не так трудно представить себе, какими должны быть машины, выполняющие более сложные задачи алгоритмического характера. «Повозившись» немного с подобными задачами, легко приходишь к убеждению в том, что машина этого типа может выполнять вообще любые механические операции ! Тогда с точки зрений математики приобретает смысл определение механической операции как такой операции, которую может выполнить подобная машина. Существительное «алгоритм» и прилагательные «вычислимый», «рекурсивный» и «эффективный» используются математиками для обозначения механических операций, которые могут быть выполнены теоретическими устройствами такого рода, т. е. машинами Тьюринга. Если некоторая процедура четко определена и по природе своей механистична, то можно вполне обоснованно предположить, что найдется машина Тьюринга, способная ее выполнить. Это, в конце концов, и есть основной момент наших (то есть Тьюринга) рассуждений, лежащий и в основе самой концепции машины Тьюринга.

С другой стороны, остается ощущение, что принципы построения этих машин содержат излишние ограничения. Разрешение устройству считывать за один раз только одну двоичную цифру (0 или 1 ) и передвигаться каждый раз только на один шаг да еще вдоль единственной одномерной ленты, на первый взгляд, ограничивает возможности машины. Почему бы не разрешить одновременное использование четырех, пяти или, возможно, тысячи разных лент, по которым одновременно двигалось бы большое количество взаимосвязанных считывающих устройств? Почему бы не ввести целую плоскость с нулями и единицами (или, например, трехмерное пространство), вместо того чтобы настаивать на использовании одномерной ленты? Почему бы не использовать другие системы счисления или символы из каких-нибудь более сложных алфавитов? По сути, ни одно из этих изменений ни в малейшей степени не влияет на то, что в принципе может быть достигнуто с помощью машины Тьюринга, хотя некоторые из них отразились бы на экономичности производимых операций (как это наверняка произошло бы, разреши мы использование нескольких лент). Класс осуществляемых операций, попадающих, таким образом, под определение «алгоритма» (или «вычисления», или «выполнимой процедуры», или «рекурсивной операции»), остался бы в точности тем же самым, если мы расширим определение наших машин и включим в него даже все предлагавшиеся выше модификации одновременно!

Мы можем видеть, что нет необходимости в дополнительных лентах, коль скоро устройство может по мере надобности находить свободное место на одной ленте. При этом может потребоваться постоянная перезапись данных с одного места ленты на другое. Это, может быть, «неэффективно», но в принципе не ограничивает возможности машин Тьюринга[43]. Сходным образом, использование более чем одного устройства Тьюринга для параллельных вычислений — идея, ставшая очень популярной в последние годы в связи с попытками более точного моделирования человеческого мозга, — не дает никаких принципиальных преимуществ (хотя при определенных обстоятельствах может увеличиться быстродействие). Использование двух непосредственно не связанных друг с другом устройств не даст выигрыша по сравнению с двумя взаимосвязанными устройствами. Но если два устройства связаны друг с другом, то, в сущности, это уже одно устройство!

А что можно сказать об ограничении Тьюринга, касающегося одномерности ленты? Если мы считаем, что эта лента представляет собой «окружение», то, возможно, мы бы предпочли в качестве такового иметь плоскую поверхность, или, допустим, трехмерное пространство. Может показаться, что плоскость лучше подошла бы для изображения «блок-схемы» вычислений (как в вышеприведенном описании последовательности действий алгоритма Евклида), чем одномерная лента[44]. Однако запись блок-схемы в «одномерной» форме не представляет принципиальных трудностей (например, можно использовать обычное словесное описание). Двумерное плоское изображение дает только удобство и простоту восприятия, но, по сути, ничего не меняет. Всегда есть возможность преобразовать координаты отметки или объекта на двумерной плоскости или в трехмерном пространстве и явным образом отобразить их на одномерной ленте. (Фактически, использование двумерной плоскости полностью эквивалентно использованию двух лент. Две ленты дают две «координаты», которые нужны для определения местоположения точки на двумерной плоскости; аналогично, три ленты могут выполнять ту же роль для точки в трехмерном пространстве.) И хотя эта одномерная запись может вновь оказаться «неэффективной», принципиальные возможности устройства это никак не ограничивает.

Несмотря на все это, по-прежнему остается вопрос о том, действительно ли понятие машины Тьюринга охватывает все логические или математические операции, которые мы могли бы назвать «механическими». В то время, когда Тьюринг написал свою основополагающую работу, ситуация была гораздо менее ясной, чем сегодня, поэтому Тьюринг справедливо посчитал необходимым предоставить развернутое изложение этого вопроса. Детально рассмотренная Тьюрингом проблема получила дополнительное обоснование благодаря тому, что совершенно независимо от Тьюринга (и на самом деле несколько ранее) американский логик Алонзо Черч (совместно со Стивеном Клини), стремясь найти решение проблемы алгоритмической разрешимости Гильберта, предложил свою схему лямбда-исчисления. Хотя то, что это была всеобъемлющая полностью механическая схема, было не так очевидно, как в случае с подходом Тьюринга, ее несомненным преимуществом была удивительная компактность математической структуры. (Я буду рассматривать замечательный анализ Черча в конце главы.) Независимо от Тьюринга были предложены и другие подходы к решению задачи Гильберта (см. Ганди [1988]), среди которых можно выделить работу американского логика польского происхождения Эмиля Поста (опубликованную несколько позже работы Тьюринга, но содержащую идеи, более близкие идеям Тьюринга, нежели Черча). В скором времени было доказано, что все эти схемы совершенно эквивалентны.

Это значительно укрепило точку зрения, известную как тезис Черча — Тьюринга , которая утверждает, что машина Тьюринга (или ее эквивалент) на самом деле определяет то, что в математике понимают под алгоритмической (или выполнимой, или рекурсивной, или механической) процедурой. Сегодня, когда быстродействующие электронные компьютеры прочно вошли в нашу жизнь, немного найдется тех, кто считает необходимым ставить под сомнение эту теорию в ее изначальной формулировке. Вместо этого сейчас исследователи обратили внимание на вопрос, какие логические и математические операции могут выполнять реальные физические системы (возможно, включающие и человеческий мозг), подчиняющиеся точным физическим законам: точно такие же, что и машины Тьюринга, или же их возможности больше или меньше? Что касается меня, то я с удовольствием принимаю исходную математическую интерпретацию тезиса Черча — Тьюринга. С другой стороны, вопрос о его отношении к поведению реальных физических систем заслуживает отдельного рассмотрения и будет занимать в дальнейшем центральное место в наших рассуждениях.

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 267 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Заменить последнюю единицу в двоичной записи числа на ноль

Проблема в том, что нельзя использовать строки, циклы и ветвления(с этим задача становится элементарной).
Только арифметику и битовую арифметику. Просьба подсказать в каком направлении копать. Самостоятельно удалось решить только для частных случаев, либо с использованием запрещенных элементов (типа поиска последнего вхождения подстроки или цикла смещения)

  • математика
  • битовые-операции
  • системы-счисления

Отслеживать
546 3 3 серебряных знака 18 18 бронзовых знаков
задан 2 дек 2013 в 10:13
25.9k 1 1 золотой знак 38 38 серебряных знаков 70 70 бронзовых знаков

без цикла не знаю, с циклом так можно, например: var a=6,i=0; while (a>>i<

2 дек 2013 в 10:43

С циклом и я знаю. =) В состоянии найти единичку в строке. Но задача именно без. В частном случае, когда число начинается только с единиц, а заканчивается только нулями, оно решается ($a

С какой математической операции можно найти последнюю цифру двоичной записи числа?

Найти остаток от деления на 2. Если десятичное число четное, то последняя цифра двоичной записи числа будет 0, если нечетное, то 1.

4,7(91 оценок)

Признаки для сравнения

Восстановление государственности на территории бывшей Речи Посполитой путем всенародного восстания;

демократического республиканского строя путем крестьянской революции, самоопределение народов.

Выступали против крепостного права, считали, что землю крестьянам надо отдать без компенсации помещикам.

Восстановление независимости Речи Посполитой в границах 1772 г. путем дипломатического давления на Россию западноевропейских государств;

ликвидация барщины и замена ее чиншем;

постепенное освобождение крестьянства, но без земли.

Стремились не допустить, чтобы восстание переросло в крестьянскую

Мелкая и безземельная шляхта, мещане, интеллигенция, ремесленники, крестьяне.

Средние и крупные землевладельцы и верхи буржуазии.

Летом 1862 г. с целью подготовки восстания

в Беларуси и Литве в Вильно организован Литовский провинциальный комитет (ЛПК).

Издание нелегальной «Мужыцкай праўды», исполнявшей роль газеты.

1 февраля 1863 г. ЛПК провозгласил себя Временным провинциальным правительством Литвы и Беларуси и обнародовал программные документы, дублировавшие

программу польских повстанцев. Население призывалось к вооруженной борьбе.

Восстановление униатской церкви.

Создание местных повстанческих отрядов, осуществляющих редкие боевые вылазки.

Для подготовки восстания весной 1862 г. в Варшаве был создан Центральный национальный комитет (ЦНК).

Поддержание связи с Комитетом русских офицеров в Польше – революционной организацией в русской армии, дислоцированной на территории Польши, Беларуси, Литвы, Украины.

Создание в западных губерниях Беларуси отрядов из мелкой шляхты, ремесленников, части крестьян, а также студентов, учеников, офицеров, которые оставили армию.

Отсутствие активных наступательных действий.

4,4(85 оценок)

Мольєр чудово зумів описати стан людства і його мету на сьогоднішній день. Яскравим прикладомявляється твір “Міщанин-шляхтич”, в якому розпоідається про чоловіка по імені Журден, який ладен на все аби здобуути собі титул.
Подекуди виникають багато смішних ситуацій за участі Журдена. Інколи хочеться іти його, оскільки він прагне чогось нового, прагне навчитися усього того, що недано йому із народження. Серед нас є багато таких людей, але вони рано чи пізно здаються, усвідомивши, що вони недосягнуть своєї мети. Але це не про Журдена. Цей чоловік йде до кінця і таким чином страждає, бо його обманюють на кожному кроці, хоча він цього незамічає, оскільки прагнення титулу закрило йому очі.
Яким б смішним нам здавався Журден, у нього було серце, що недано сьогодні таким людям. Він любив свою дочку і жінку і саме через них хотів добитися право на дворянство. Він був розумнішим від своєї жінки, оскільки вона заперечує освіту і вважає її непотрібною. Саме це відрізняло його від неї і від усіх інших.
Про те, які они сучасні Журдени? Є багато людей які хчуть довсти усьому світу про їх корість, я вважаю вони перш за все хочуть довесте це собі, оскільки нерозуміють самих себе і через це страждають усе життя. Мольєр хотів показати нам, що непотрібно добиватися вищих посад, оскільки не місце красить людину, а людина місце. І саме по такому принципі нам потрібно житти

Вопрос-ответ:

Какая математическая операция позволяет найти последнюю цифру двоичной записи числа?

Операция взятия остатка от деления на 10, можно привести число к десятичной системе счисления и выбрать последнюю цифру.

Каким образом можно найти последнюю цифру двоичной записи числа с использованием логарифмов?

С помощью логарифмов можно определить, сколько цифр в двоичной записи числа. После этого можно разделить число на 2 в степени количества цифр и взять остаток от деления на 10.

Можно ли найти последнюю цифру двоичной записи числа без преобразования его в десятичную систему?

Да, для этого можно использовать правило: последняя цифра бинарного числа равна остатку от деления этого числа на 10 (в двоичном смысле).

Как можно найти последнюю цифру двоичной записи числа с помощью операций битовых сдвигов?

Для этого нужно выполнить сдвиг числа вправо на один бит и взять остаток от деления на 2.

Как в программе на Python можно найти последнюю цифру двоичной записи числа?

Это можно сделать с помощью операции взятия остатка от деления на 2: number % 2.

Как найти все цифры в двоичной записи числа, если известна последняя?

Если известна последняя цифра, то можно последовательно применять операцию битового сдвига вправо и взятия остатка от деления на 2, записывая полученные цифры в обратном порядке.

Зачем нужно знать последнюю цифру двоичной записи числа?

Это может понадобиться, например, при работе с булевой алгеброй, при вычислении контрольных сумм и хеш-функций, а также в криптографии.

Какая из операций является наиболее эффективной в поиске последней цифры двоичной записи числа?

Какая из операций является наиболее эффективной в поиске последней цифры двоичной записи числа?

В поиске последней цифры двоичной записи числа у нас есть несколько математических операций, которые могут быть использованы. Наиболее эффективной из них является операция побитового «И» (and) с числом, состоящим из единицы в двоичной системе.

Это связано с тем, что побитовая операция «И» производит умножение двоичных цифр на соответствующих позициях, и если оба бита равны 1, то результат также будет 1. Таким образом, если выполнить побитовое «И» с числом, состоящим из единицы, то результатом будет последняя цифра в двоичной записи исходного числа.

Например, для числа 10110110 результатом побитового «И» с числом 00000001 будет 00000000, а с числом 00000010 будет 00000010, что соответствует последней цифре в двоичной записи исходного числа — 0.

Таким образом, для поиска последней цифры двоичной записи числа наиболее эффективно использовать побитовую операцию «И» с числом, состоящим из единицы в двоичной системе.

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий