Прямой и дополнительный коды положительного числа записываются одинаково

В целях упрощения выполнения арифметических операций и определения знака результата применяют специальные коды для представления чисел. Операция вычитания (или алгебраического сложения) чисел сводится к арифметическому сложению кодов, облегчается выработка признаков переполнения разрядной сетки. В результате упрощаются устройства, выполняющие арифметические операции.

Для представления чисел со знаком в ЭВМ применяют прямой, обратный и дополнительный коды.

Общая идея построения кодов такова. Код трактуется как число без знака, а диапазон представляемых кодами чисел без знака разбивается на два поддиапазона. Один из них представляет положительные числа, другой – отрицательные. Разбиение выполняется таким образом, чтобы принадлежность к поддиапазону определялась максимально просто.

Наиболее распространенным и удобным является формирование кодов таким образом, чтобы значение старшего разряда указывало на знак представляемых чисел, т.е. использование такого кодирования позволяет говорить о старшем разряде как о знаковом (бит знака) и об остальных как о цифровых разрядах кода.

Для представления знаковых целых чисел используются три способа:

1) прямой код;

2) обратный код;

3) дополнительный код.

Все три способа используют самый левый (старший) разряд битового набора длины n для кодирования знака числа: знак «плюс» кодируется нулем, а «минус» – единицей. Остальные n–1 разрядов (называемые мантиссой или цифровой частью) используются для представления абсолютной величины числа.

Запись числа αnαn–1…αi…α1α0α–1…αm , где αn∈ – знак числа, при всех прочих равных условиях имеет разные количественные эквиваленты в зависимости от того в каком коде, прямом, обратном или дополнительном, оно записано.

1. Положительные целые числа

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково – цифровая часть содержит двоичную запись числа (значащие разряды αn–1÷αm кодируют количественный эквивалент числа), в знаковом разряде содержится 0. Например, для n = 8:

Диапазон представимых чисел: 0…2 n –1 –1.

Прямой код

Прямой код — способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой. Главным образом используется для записи неотрицательных чисел

Прямой код используется в двух вариантах.
В первом (основной) — для записи только неотрицательных чисел:

Неотрицательные числа в прямом коде

Урок 3. Часть 14. Прямой код и дополнительный код

В этом варианте (для восьмибитного двоичного числа) мы можем записать максимальное число 255 (всего чисел 256 — от 0 до 255)

Второй вариант — для записи как положительных, так и отрицательных чисел.
В этом случае старший бит (в нашем случае — восьмой) объявляется знаковым разрядом (знаковым битом).
При этом, если:
— знаковый разряд равен 0, то число положительное
— знаковый разряд равен 1, то число отрицательное

Знаковый разряд прямого кода

В этом случае диапазон десятичных чисел, которые можно записать в прямом коде составляет от — 127 до +127:

Двоичные числа в прямом коде

Подводя итоги вопроса, не влезая в его дебри, скажу одно:
Прямой код используется главным образом для представления неотрицательных чисел.
Использование прямого кода для представления отрицательных чисел является неэффективным — очень сложно реализовать арифметические операции и, кроме того, в прямом коде два представления нуля — положительный ноль и отрицательный ноль (чего не бывает):

Обратный код

Обратный код — метод вычислительной математики, позволяющий вычесть одно число из другого, используя только операцию сложения.
Обратный двоичный код положительного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 0, за которым следует значение числа.
Обратный двоичный код отрицательного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 1, за которым следует инвертированное значение положительного числа.

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

При 8-битном двоичном числе — знаковый бит (как и в прямом коде) старший (8-й)

Двоичное число в обратном коде

Диапазон десятичных чисел, который можно записать в обратном коде от -127 до + 127

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

1-й пример (для положительного результата)
Дано два числа:
100 = 0110 0100
-25 = — 0001 1001
Необходимо их сложить:
100 + (-25) = 100 — 25 = 75

1-й этап
Переводим число -25 в двоичное число в обратном коде:
25 = 0 001 1001
-25= 1 110 0110
и складываем два числа:
0 110 0100 (100) + 1 110 0110 (-25) = 1 0 100 1010, отбрасываем старшую 1 (у нас получился лишний 9-й разряд — переполнение), = 0 100 1010
2-й этап
Отброшенную в результате старшую единицу прибавляем к результату:
0 100 1010 + 1 = 0 100 1011 (знаковый бит = 0 , значит число положительное), что равно 75 в десятичной системе

2-й пример (для отрицательного результата)
Дано два числа:
5 = 0000 0101
-10 = — 0000 1010
Необходимо их сложить:
5 + (-10) = 5 — 10 = -5

1-й этап
Переводим число -10 в двоичное число в обратном коде:
10 = 0 000 1010
-10= 1 111 0101
и складываем два числа:
0 000 0101 (5) + 1 111 0101 (-10) = 1 111 1010 (знаковый бит = 1 , значит число отрицательное)

2-й этап
Раз результат получился отрицательный, значит число представлено в обратном коде.
Переводим результат в прямой код (путем инвертирования значения, знаковый бит не трогаем):
1 111 1010 —-> 1 000 0101
Проверяем:
1 000 0101 = — 0000 0101 = -5

Обратный код решает проблему сложения и вычитания чисел с различными знаками, но и имеет свои недостатки:
— арифметические операции проводятся в два этапа
— как и в прямом коде два представления нуля — положительный и отрицательный

Прямой, обратный и дополнительный коды

Очень часто в вычислениях должны использоваться не только положительные, но и отрицательные числа.

Число со знаком в вычислительной технике представляется путем представления старшего разряда числа в качестве знакового .

Принято считать, что 0 в знаковом разряде означает знак «плюс» для данного числа, а 1 – знак «минус».

Число со знаком в 8-битной разрядной сетке

Выполнение арифметических операций над числами с разными знаками представляется для аппаратной части довольно сложной процедурой. В этом случае нужно определить большее по модулю число, произвести вычитание и присвоить разности знак большего по модулю числа.

Применение дополнительного кода позволяет выполнить операцию алгебраического суммирования и вычитания на обычном сумматоре. При этом не требуется определения модуля и знака числа.

Прямой код представляет собой одинаковое представление значимой части числа для положительных и отрицательных чисел и отличается только знаковым битом. В прямом коде число 0 имеет два представления «+0» и «–0».

Обратный код для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, а для отрицательных чисел образуется из прямого кода положительного числа путем инвертирования всех значащих разрядов прямого кода. В обратном коде число 0 также имеет два представления «+0» и «–0».

Дополнительный код для положительных чисел имеет тот же вид, что и прямой код, а для отрицательных чисел образуется путем прибавления 1 к обратному коду. Добавление 1 к обратному коду числа 0 дает единое представление числа 0 в дополнительном коде. Однако это приводит к асимметрии диапазонов представления чисел относительно нуля.

Так, в восьмиразрядном представлении диапазон изменения чисел с учетом знака.

Таблица прямого, обратного и дополнительного кода 4-битных чисел. Для наглядности представления всего диапазона чисел примем, что сетка представления чисел 4-разрядная, где старший разряд (3) — знаковый, а 0-2 разряды содержат значение числа.

ЧислоПрямой кодОбратный кодДополнительный код
-81000
-7111110001001
-6111010011010
-5110110101011
-4110010111100
-3101111001101
-2101011011110
-1100111101111
0
0
1000
0000
1111
0000
0000
1000100010001
2001000100010
3001100110011
4010001000100
5010101010101
6011001100110
7011101110111

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичных чисел являются способами отображения двоичных чисел, имеющих фиксированную запятую, в компьютерных вычислительных операциях, которые предназначены для представления отрицательных и положительных чисел. Известно, что любые десятичные числа можно представить в двоичном коде. Например, десятичное число 101 в двоичном формате равняется 1100101, или в восьми битном формате это выглядит как 0110 0101. А чтобы представить отрицательные десятичные числа в двоичном виде и обеспечить возможность выполнения с ними арифметических операций, как раз и предназначены различные методы отображения чисел в двоичном коде.

Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты

Прямой, обратный и дополнительный коды

Следует подчеркнуть, что положительные числа в двоичном коде не зависимо от метода их представления, то есть в прямом, обратном или дополнительном кодах, обладают одинаковым видом.

Прямой код является методом отображения двоичных чисел с фиксированной запятой, который в основном применяется для записи неотрицательных чисел. Прямой код может применяться в следующих вариантах:

  • В основном варианте он служит для записи только неотрицательных чисел. В этом случае для восьми битного двоичного числа может быть записано максимальное число 255 (всего чисел 256, то есть, от нуля до 255).
  • Во втором варианте он служит для записи как положительных, так и отрицательных чисел.

Во втором случае старший бит принято считать знаковым разрядом (знаковым битом). Причём, если:

  • Знаковый разряд равняется нулю, то число является положительным.
  • Знаковый разряд равняется единице, то число является отрицательным.

В таком варианте диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в прямом коде, составляет от — 127 до +127.

Начинай год правильно
Выигрывай призы на сумму 400 000 ₽

Таким образом, на основании изложенного выше можно сделать вывод, что прямой код может применяться в основном для представления неотрицательных чисел. Применение прямого кода для представления отрицательных чисел считается малоэффективным, поскольку при этом достаточно сложно реализовать арифметические операции и, помимо этого, в прямом коде существует два представления нуля, а именно, положительный нуль и отрицательный нуль (чего не бывает).

Обратный код является способом вычислительной математики, который позволяет осуществить вычитание одного числа из другого, применяя лишь операцию суммирования. Обратный двоичный код положительного числа представляет собой одноразрядный код знака, то есть, двоичного числа нуль, за которым должно следовать числовое значение.

Обратные двоичные коды отрицательных чисел представляет собой одноразрядный код знака, а именно, двоичную цифру единица, за которой должны следовать инвертированные значения положительных чисел. Для положительных чисел обратный код двоичных чисел обладает таким же видом, что и представление неотрицательных чисел в прямом коде.

Для отрицательных чисел обратный код может быть получен из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов, то есть, единицы заменяются нулями, а нули должны быть заменены на единицы. Для преобразования отрицательного числа, которое записано в обратном коде, в положительное необходимо просто выполнить его инвертирование. Для восьми битного двоичного числа знаковым битом, как и в прямом коде, является старший, то есть, восьмой бит. Диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в обратном коде, простирается от -127 до + 127. Ниже приведены примеры записи чисел в обратном коде.

Примеры записи чисел в обратном коде. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Примеры записи чисел в обратном коде. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Далее рассмотрим выполнение арифметических операций с отрицательными числами в обратном коде (арифметические операции с двоичными числами).

Имеем следующие два числа:

Необходимо выполнить их сложение, которое в десятичном формате имеет общеизвестный вид:

100 + (–25) = 100 — 25 = 75

Для реализации этой операции в двоичных кодах, необходимо сначала выполнить перевод числа -25 в двоичное число в обратном коде:

Затем необходимо осуществить собственно операцию сложения двух чисел:

0110 0100 (100) + 1110 0110 (–25) = 1 0100 1010.

Старший единичный разряд необходимо отбросить, так как получился лишний девятый разряд, как результат переполнения:

Далее отброшенную в результате старшую единицу следует прибавить к результату:

0100 1010 + 1 = 0100 1011.

При этом знаковый бит равняется нулю и это означает, что число является положительным и равным 75 в десятичной системе.

Обратный код способен решить проблему сложения и вычитания чисел с разными знаками, но также и обладает определёнными недостатками:

  1. Для выполнения арифметических операций необходимо осуществить два этапа.
  2. Как и для прямого кода существует два представления нуля, а именно, положительный и отрицательный.

Дополнительный код является самым распространенным способом представления отрицательных чисел. Он предоставляет возможность замены операции вычитания операцией сложения, а также позволяет сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и без знаковых чисел.

Дополнительный код, аналогично прямому и обратному кодам, использует старший разряд для обозначения знака числа, то есть, этот разряд является знаковым битом. Диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в дополнительном коде, простирается от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде выполняется так же, как и в прямом и обратном кодах.

Дополнительный код отрицательного числа может быть получен следующими способами:

  1. Необходимо выполнить инвертирование значения отрицательного числа, которое записано в прямом коде (знаковый бит сюда не входит), а к полученной инверсии следует прибавить единицу.
  2. Необходимо выполнить вычитание преобразуемого числа из нуля.
Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий