Правила кирхгофа для электрической цепи

Чтобы расчеты сложных электрических цепей с неоднородными участками не вызывали трудности, существует упрощение с помощью применения правил Кирхгофа, которые рассматривают как обобщение закона Ома на случай разветвленных цепей.

В таких цепях выделяют узловые точки, называемые узлами, где сходятся не менее трех проводников, как изображено на рисунке 1 . 10 . 1 . Токи, поступающие в узел, считают положительными, а вытекающие – отрицательными.

Рисунок 1 . 10 . 1 . Узел электрической цепи. I 1 , I 2 > 0 ; I 3 , I 4 < 0 .

Правила Кирхгофа. Примеры

Оба правила Кирхгофа для всех узлов и контуров разветвленной цепи дают необходимое и достаточное число алгебраических уравнений для расчета значений напряжений и сил токов электрической цепи. Цепь, изображенная на рисунке 1 . 10 . 2 , рассматривается как система уравнений для определения трех неизвестных I 1 , I 2 и I 3 :

I 1 R 1 + I 2 R 2 = — δ 1 — δ 2 ,

— I 2 R 2 + I 3 R 3 = δ 2 + δ 3 ,

— I 1 + I 2 + I 3 = 0 .

То есть применение этих правил помогает свести расчет электрической цепи постоянного тока к решению системы. Процесс не вызывает трудностей, но зачастую приходится работать с громоздкими выражениями простых цепей. При получении отрицательного значения силы тока на участке цепи говорят о противоположном направлении тока, относительно выбранного.

Модель постоянного тока

Рисунок 1 . 10 . 4 . Модель цепи постоянного тока.

Модель постоянного тока

Рисунок 1 . 10 . 5 . Модель конденсаторов в цепях постоянного тока.

Правила кирхгофа для электрической цепи

Соединения резисторов и источников в сложных цепях не всегда можно свести к совокупности последовательного и параллельного их соединений. Для расчётов сложных цепей удобно применять правила Кирхгофа.

Узлом электрической цепи будем называть точку, где сходятся не менее трёх проводников. Токи, подходящие к узлу, будем считать положительными, а выходящие из узла – отрицательными. Узел – это не обкладки конденсатора, где может происходить существенное накопление заряда. Отсюда следует первое правило Кирхгофа:

первое правило Кирхгофа

алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Участок цепи между двумя узлами называется ветвью. Возьмём в сложной цепи произвольный замкнутый контур, состоящий из отдельных ветвей. Выберем направление обхода контура по часовой стрелке или против. ЭДС в каждой ветви контура будем считать положительной, если направление её действия совпадает с выбранным направлением обхода контура, а в противном случае – отрицательной. Падение напряжения (произведение тока на сопротивление) в любой ветви контура будем считать положительным, если направление тока в этой ветви совпадает с направлением обхода контура, в противном случае – отрицательным. Записав для каждой ветви контура уравнение закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, и сложив все уравнения, получим второе правило Кирхгофа:

Урок 263. Правила Кирхгофа


второе правило Кирхгофа

в произвольном замкнутом контуре любой электрической цепи сумма падений напряжений во всех ветвях контура равна алгебраической сумме ЭДС во всех ветвях контура.

Оба правила Кирхгофа справедливы не только для постоянных во времени значений всех величин, входящих в соответствующие уравнения, но и для их мгновенных значений.

При составлении уравнений по правилам Кирхгофа нужно придерживаться следующих рекомендаций. Если в цепи содержится n n узлов, то по первому правилу Кирхгофа можно составить только n – 1 n–1 независимых уравнений. При составлении уравнений по второму правилу Кирхгофа надо следить, чтобы в каждом новом контуре была хотя бы одна ранее не использованная ветвь. Отступление от этих рекомендаций приводит к появлению уравнений, являющихся следствием системы ранее составленных уравнений. В процессе решения такой «переполненной» системы может возникнуть тождество 0 = 0 0=0 , что приводит в замешательство решающего из-за «исчезновения» неизвестных системы.

Задача 18.1

Рис. 18.1

В схеме на рис. 18.1 E 1 = 4,2 <mathcal E>_1=4,2 B, E 2 = 3,8 <mathcal E>_2=3,8 B, R 1 = R 2 = 10 R_1=R_2=10 Ом, R 3 = 45 R_3=45 Ом. Найти силу и направление тока во всех участках цепи. Считать, что внутренние сопротивления источников вошли в R 1 R_1 , и R 2 R_2 .

Зададим направления токов произвольно, например так, как показано на рис. 18.1.
Для нахождения трёх неизвестных токов надо составить три независимых уравнения. В схеме n = 2 n=2 узла. По первому правилу Кирхгофа составляем n — 1 = 1 n-1=1 уравнение. Для узла `C`:

I 1 — I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0 .

Недостающие два уравнения составляем по второму правилу Кирхгофа для контуров `ABCA` и `ABCDA`:

I 1 R 1 — I 3 R 3 = E 1 I_1R_1-I_3R_3=<mathcal E>_1 , I 1 R 1 + I 2 R 2 = E 1 — E 2 I_1R_1+I_2R_2=<mathcal E>_1-<mathcal E>_2 .

Решение системы полученных трёх уравнений в общем виде трудоёмко и даёт громоздкие выражения для токов. Систему удобно решать, подставив в неё значения ЭДС и сопротивлений:

I 1 — I 2 + I 3 = 0 I_1-I_2+I_3=0 , 10 I 1 — 45 I 2 = 4,2 10I_1-45I_2=4,2 , 10 I 1 + 10 I 2 = 0,4 10I_1+10I_2=0,4 .

Решая систему последний трёх уравнений, находим:

I 1 = 0,06 I_1=0,06 A, I 2 = — 0,02 I_2=-0,02 A, I 3 = — 0,08 I_3=-0,08 A.

Отрицательные значения токов I 2 I_2 и I 3 I_3 говорят о том, что истинные направления этих токов противоположны указанным на рис. 18.1.

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю :

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС :

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12 =-I21 ; I13 =-I31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Например, для поверхности S (рис. 1.14,а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение , что можно также получить из уравнений (1.21) для узлов 3 и 4.
Чтобы установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В уравнений на основании закона Ома (1.11а):

где — сопротивление ветви, соединяющей узлы р и у; Е ру — суммарная ЭДС, действующая в ветви р — у в направлении от р к у; — потенциалы узлов р и у.
В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов В ветвей и потенциалов У узлов равняется В + У.
Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любому значению, в частности нулю. Если теперь из системы В уравнений (1.22) исключить оставшиеся неизвестными У — 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до В — (У — 1). Но исключение потенциалов из уравнений (1.22) приводит к уравнениям, связывающим ЭДС источников с напряжениями на резистивных элементах, т. е. к уравнениям, составленным на основании второго закона Кирхгофа.
Таким образом, число независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно В — (У- 1).
В качестве примера напишем уравнения, связывающие потенциалы узлов с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а по ( 1.126):

Сложив третье и четвертое уравнения и вычтя полученную сумму из первого, получим

Если применим второй закон Кирхгофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.
Аналогичным путем можно получить уравнения для других контуров:
для контура 1-3-2-1

для котуpa 2-4-3-2

Совместное решение любых пяти уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если и результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует обращать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимыми. Контуры необходимо выбрать гак. чтобы в них вошли все ветви схемы, а в каждый из контуров — возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый последующий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей. Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1.23), (1.24а) и получается путем их суммирования. Далее будет дано наиболее общее правило выбора контуров, обеспечивающих получение независимых уравнений.
Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений (1.20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкнутый контур до замкнутого. Например, для определения напряжения U 52 (рис. 1.14, а) можно написать уравнение для контура 2-1-5-2

или для контура 5-4-2-5

откуда легко найти искомое напряжение.
Пример 1.2.
Пользуясь законами Кирхгофа, написать два выражения для тока I 0 в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв известным в одном случае ток I , а в другом напряжение U .
Решение.
На основании законов Кирхгофа напишем для заданной схемы с шестью неизвестными токами уравнения:

Решив совместно эти уравнения, получим выражения для тока I 0 при заданном напряжении U

и при заданном токе I

Для полной характеристики электрического состояния цепи надо знать не только токи и напряжения, но также мощности источников и приемников энергии.
В соответствии с законом сохранения энергии развиваемая всеми источниками мощность равна суммарной мощности приемников и мощности потерь в источниках (из-за внутренних сопротивлений)

В левой части (1.25) суммы алгебраические. Это значит, что если при заданных направлениях действия источника ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см. рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС или напряжения U 12 на выводах источника тока получится отрицательное численное значение, то этот источник в действительности не разовьет мощность, а получит ее от других источников. Соответствующее слагаемое в левой части (1.25) получится со знаком минус. Если требуется найти необходимую мощность источников питания цепи, то такие слагаемые следует записать с обратным знаком в правой части (1.25).

Законы Кирхгофа простыми словами

Два закона Кирхгофа вместе с законом Ома составляют тройку законов, с помощью которых можно определить параметры электрической цепи любой сложности. Законы Кирхгофа мы будем проверять на примерах простейших электрических схем, собрать которые не составит никакого труда. Для этого понадобится несколько резисторов, пара источников питания, в качестве которых подойдут гальванические элементы (батарейки) и мультиметр.

Первый закон Кирхгофа говорит, что сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Существует и другая, аналогичная по смыслу формулировка: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.

Давайте разберем сказанное более подробно. Узлом называют место соединения трех и более проводников.

1 закон Кирхгофа электрический узел

Ток, который втекает в узел, обозначается стрелкой, направленной в сторону узла, а выходящий из узла ток – стрелкой, направленной в сторону от узла.

Первый закон Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа формула

Условно присвоили знак «+» всем входящим токам, а «-» ‑ все выходящим. Хотя это не принципиально.

1 закон Кирхгофа согласуется с законом сохранения энергии, поскольку электрические заряды не могут накапливаться в узлах, поэтому, поступающие к узлу заряды покидают его.

Убедиться в справедливости 1-го закона Кирхгофа нам поможет простая схема, состоящая из источника питания, напряжением 3 В (две последовательно соединенные батарейки по 1,5 В), три резистора разного номинала: 1 кОм, 2 кОм, 3,2 кОм (можно применять резисторы любых других номиналов). Токи будем измерять мультиметром в местах, обозначенных амперметром.

Первый закон Кирхгофа схема

Если сложить показания трех амперметров с учетом знаков, то, согласно первому закону Кирхгофа, мы должны получить ноль:

Или показания первого амперметра А1 будет равняться сумме показаний второго А2 и третьего А3 амперметров.

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа воспринимается начинающими радиолюбителями гораздо сложнее, нежели первый. Однако сейчас вы убедитесь, что он достаточно прост и понятен, если объяснять его нормальными словами, а не заумными терминами.

Упрощенно 2 закон Кирхгофа говорит: сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений

ΣE = ΣIR

Самый простой случай данного закона разберем на примере батарейки 1,5 В и одного резистора.

2 закон Кирхгофа пример

Поскольку резистор всего один и одна батарейка, то ЭДС батарейки 1,5 В будет равна падению напряжения на резисторе.

Если мы возьмем два резистора одинакового номинала и подключим к батарейке, то 1,5 В распределятся поровну на резисторах, то есть по 0,75 В.

Второй закон Кирхгофа схема

Если возьмем три резистора снова одинакового номинала, например по 1 кОм, то падение напряжения на них будет по 0,5 В.

Второй закон Кирхгофа

Формулой это будет записано следующим образом:

Второй закон Кирхгофа формула

Рассмотрим условно более сложный пример. Добавим в последнюю схему еще один источник питания E2, напряжением 4,5 В.

2 закон Кирхгофа схема

Обратите внимание, что оба источника соединены последовательно и согласно, то есть плюс одной батарейки соединяется с минусом другой батарейки или наоборот. При таком способе соединения гальванических элементов их электродвижущие силы складываются: E1 + E2 = 1,5 + 4,5 = 6 В, а падение напряжения на каждом сопротивлении составляет по 2 В. Формулой это описывается так:

2 закон Кирхгофа формула

И последний отличительный вариант, который мы рассмотрим в данной статье, предполагает последовательное встречное соединение гальванических элементов. При таком соединении источников питания из большей ЭДС отнимается значение меньшей ЭДС. Следовательно к резисторам R1…R3 будет приложена разница E1 – E2, то есть 4,5 – 1,5 = 3 В, — по одному вольту на каждый резистор.

2 закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа пример

Второй закон Кирхгофа работает не зависимо от количества источников питания и нагрузок, а также независимо от места их расположения в контуре схемы. Полезно будет собрать рассмотренные схемы и выполнить соответствующие измерения с помощью мультиметра.

Законы Кирхгофа действуют как для постоянного, так и для переменного тока.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Схема параллельного соединения проводников

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма — это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа

  • I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
  • Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
  • Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
  • Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
  • Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
  • Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
  • А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
  • Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

участок электрической цепи

  • На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
  • БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
  • ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
  • ГА: φГ – I4r4 = φА.
  • Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
  • или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
  • Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений — Формула второго закона Кирхгофа в комплексной форме уравнение для постоянных напряженийУравнение для переменных напряжени — Формула второго закона Кирхгофа в комплексной форме уравнение для переменных напряжений

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

2 закон Кирхгофа для электрической цепи e_1-e_2+e_3=I_1 R_1-I_2 R_2+I_3 R_3-I_4 R_4.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

  • 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
  • 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
  • 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

пример применения второго правила Кирхгофа

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.

В возникшей ситуации известный немецкий физик Густав Кирхгоф обнаружил определенную закономерность в распределении токов в сложных электрических цепях с источниками питания. На основе своих экспериментов он сформулировал основные правила, которые впоследствии были названы обобщенным названием закон Кирхгофа.

Установленные немецким ученым закономерности касались только тех цепей, в которых протекал постоянный ток (на его переменный аналог они не распространялись).

С помощью этих правил удавалось рассчитывать любые электрические цепи, независимо от количества входящих в них резистивных компонентов и питающих их внешних источников.

Как формулируется закон Кирхгофа

При условии полной определенности с номиналами элементов электрической цепи выведенные Г. Кирхгофом закономерности позволяют определить значения протекающих в контурах токов, включая их направление.

Skhema 2

Первое правило Кирхгофа

Этот закон для сложных разветвленных цепей выглядит так: результирующая нескольких втекающих в конкретный узел токов равна сумме исходящих из него токовых составляющих. В другой формулировке той же закономерности утверждается, что векторная сумма (с учетом знака) всех этих токов будет равна нулю.

Zakon Kirkhgofa 2

На (Рис.-1) I1 – это токовая составляющая, втекающая в узел слева, а I2 и I3 – вытекающие из него токи. При заданных начальных условиях справедлива следующая запись:
I1 = I2 + I3
Для того чтобы убедиться в справедливости второй из двух формулировок – достаточно перенести I2 и I3 в другую часть. В результате такого приема получаем следующее итоговое выражение:
I1 — I2 — I3 = 0

Знаки «минус» в алгебраическом представлении означают, что суммируемые токи именно вытекают из данного узла. Важно отметить, что знаки токовых составляющих на начальной стадии расчета чаще всего выбираются произвольно. Но согласно правилам обозначения в электрических схемах втекающим токам присваивается знак плюс, а вытекающим из узла – минус.

Закон Кирхгофа для ЭДС

Формулировка этого правила выглядит так: сумма электродвижущих сил, действующих в пределах замкнутого контура, равна суммарному напряжению, «падающему» на всех входящих в его состав сопротивлениях. В приведенном утверждении специально оговаривается, что все величины берутся при сложении с тем или иным знаком.

Определить его правильное значение для каждого элемента удается, если при вычислениях руководствоваться следующим алгоритмом:
  • Сначала исполнителю потребуется определиться с направлением, по которому следует рассчитывать контур (оно может быть либо по ходу часовой стрелки, либо против ее движения).
  • Затем в произвольном порядке назначаются направления протекания токов по каждому из элементов разветвленной цепочки.
  • После этого нужно будет проставить знаки у питающих источников (ЭДС) и напряжений, падающих на резисторах.

При выполнении последней операции исходят из следующих соображений. Если ЭДС создает ток, вектор которого совпадает с порядком обхода контура – ей присваивается плюсовой знак. В случае, когда создаваемый ею ток протекает в направлении, обратном обходу – около нее проставляется минус.

Пример определения знака ЭДС

Типичный пример цепочки из нескольких пассивных элементов и пары источников ЭДС на (Рис.-2). Она состоит из двух источников питания e1 и e2 и двух резисторов r1 и r2. Сначала произвольно выберем направления токов в каждом элементе цепи, а затем начнем обходить замкнутый контур по часовой стрелке.

Zakon Kirkhgofa 3

Запись, выражающая действие второго закона Кирхгофа для этой цепочки, будет выглядеть так:
e1-e2 =-ur1 — ur2 или e1=e2 — ur1 — ur2

Здесь ur1 и ur2 – это напряжения, которые «падают» на соответствующих резисторах.

От общего рассмотрения перейдем к частному случаю с указанием конкретных величин ЭДС и номиналов используемых в цепи резисторов. Предположим, что величина напряжений, обеспечиваемых обоими источниками ЭДС, составляет 12 и 5 В соответственно (Рис.-3).

Zakon Kirkhgofa 4

При расчете цепей, содержащих источники питания, обязательно учитывается внутреннее сопротивление последних. Эти показатели примем равными r1=r2=0,1 Ом, а сопротивление нагрузки, к которой подключены оба источника ЭДС, будет равно R=2 Ома. Имеющиеся в схеме два рабочих узла (точки соединения) обозначим как «А» и «В». С учетом этих исходных данных попробуем разобраться в том, как распределяются токи в данной цепи, какие они имеют значения, и в каком направлении будут течь.

Принимая во внимание 1-й закон Кирхгофа, для точки «А» получаем выражение:
I = I1 + I2

Знаки всех членов этого соотношения определяются тем, что I1 и I2 втекают в узел рабочей схемы, а ток I – вытекает из него.

Далее, принимая во внимание 2-ой закон Кирхгофа, введем два выражения, одно из которых предназначено для общего, а второе – для входящего в его состав контура.

Для общего (внешнего) контура это формульное выражение будет выглядеть так:
e1-e2 = ur1 – ur2 или e1-e2 = I1r1 – I2r2
Для внутренней левой замкнутой цепочки имеем:
E1 = Ur1 + UR или E1 = I1r1 + IR
После того, как вместо общих значков в нее подставляются конкретные значения всех перечисленных переменных – получаются следующие окончательные результаты:
I1=37,073 А
I = 2х37,073 – 70 = 4,146 А

Из 1-го закона Кирхгофа следует, что I2=I — I1

I2=4,146 — 37,073 = -32,927 А

Минус перед значением токовой компоненты указывает на то, что первоначально направление протекания тока было выбрано неправильно. Ничего в проведенных расчетах менять из-за этого не надо; достаточно просто везде у токовых показателей сменить знак на противоположный.

Закон Кирхгофа в магнитных средах

Открытые Кирхгофом закономерности полностью подходят и для расчета распространенных магнитных устройств. В этом случае правила для электрических цепей полностью переносятся на индуктивные элементы трансформатора, например. Вместо токовых показателей и ЭДС в данном случае в расчетных формулах используются их аналоги – магнитные потоки (МП) и силы намагничивания.

Zakon Kirkhgofa 5

На (Рис.-4) указаны три ветви, охватывающие сердечник типового трансформатора с двумя обмотками заданной индуктивности. Если выделить в нем какой-то узел, находящийся на пресечениях различных МП – для него будет справедлив первый закон Кирхгофа. Это означает, что сумма магнитных потоков с разными векторными показателями в данной конкретной точке будет равна нулю (∑Ф=0). В этом случае первое правило формулируется так: «Алгебраическая сумма потоков магнитных полей в выбранном узле их пересечения равняется нулю».

Второй закон Кирхгофа для цепей из индуктивных элементов можно представить в следующем виде: «в выбранном замкнутом контуре магнитного поля сумма намагничивающих сил равна суммарной величине магнитных напряженностей».

Это утверждение можно представить в виде следующей формулы:
∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL
Где:

ω – количество витков в катушках индуктивности.
H – напряженность действующего э/м поля.
Значок L выражает длину средней линии магнитопровода (считается, что каждая ее точка совпадает с вектором магнитной индукции).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей – это альтернативный вариант представления правила для полного тока в электрических цепочках.

При составлении уравнений Кирхгофа в первую очередь следует определиться с направлением действия вектора МП. И только после этого по аналогии с электрическими цепями следует выбрать направление обхода всех имеющихся в системе контуров. При совпадении этих двух векторных величин падение напряженности на этих ветвях магнитопровода берется со знаком плюс. В противном случае им присваивается значок «минус».

Похожие темы:

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Второй закон Кирхгофа

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Расчет по законам Кирхгофа

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

так как I1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

Для внутреннего левого контура:

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

12 = 0,1I1 +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

12 = 0,1I1 + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

12 + 140= 4,1I1

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

I1=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

I2=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Моделирование результата

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий