Логические операции какие бывают

В математической логике операцией называется логическая связь между двумя высказываниями. Высказывание – это некое суждение, которое, как правило, может быть либо истинным, либо ложным. При этом ложью считается логический ноль (0), а истиной – логическая единица (1).

В алгебре логики существует пять основных операций: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание. Рассмотрим каждую из них.

Конъюнкция

Конъюнкция – это логическое умножение. Также принято называть её логическим «И». Обычно записывается в виде символов:

Чтобы поступить в вуз, нужно сдать ЕГЭ по русскому языку и математике. В данном случае, «сдать русский язык» и «сдать математику» — логические высказывания, а поступление в вуз – результат выражения. Обозначим высказывание «сдать русский язык» переменной А, высказывание «сдать математику» переменной Б, а результат выражения (т. е. поступление в вуз) переменной F:

A ˄ B = F

Таблица истинности для этого выражения будет выглядеть так:

ABF
000
010
100
111

То есть, чтобы результат (поступление) был истинный (равен 1), обе переменные, связанные логическим умножением, должны быть истинны. Проще говоря, если вы, к примеру, сдадите математику, но завалите русский, вы никуда не поступите (результатом будет ложь).

Таким образом, конъюнкция истинна только в одном случае – когда обе переменные истинны.

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

КАК РАБОТАЮТ КОМПЬЮТЕРЫ И ТЕЛЕФОНЫ | логические операции

Таблица истинности для дизъюнкции

  1. Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
  2. Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
  3. Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).

Начинай год правильно
Выигрывай призы на сумму 400 000 ₽

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Отрицание — означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.

Обозначения: не $A$, $bar$, $¬A$.

Таблица истинности для инверсии

«Двойное отрицание» $¬¬A$ является следствием суждения $A$, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.

Логические операции

Математика

Логи́ческие опера́ции, способы построения сложного высказывания из данных высказываний, при которых истинностное значение сложного высказывания [оно может принимать одно из двух значений – «истина» (И) или «ложь» (Л)] полностью определяется истинностными значениями исходных высказываний. Примерами логических операций являются дизъюнкция , конъюнкция , импликация , отрицание , а также кванторы .

Дизъюнкцией называется логическая операция, заключающаяся в соединении данных высказываний A A A и B B B в новое высказывание « A A A или B B B ». В формализованных языках дизъюнкция высказываний A A A и B B B обозначается A ⁣ ∨ ⁣ B A!∨!B A ∨ B (читается: « A A A или B B B », «имеет место A A A или имеет место B B B »), A A A и B B B называются дизъюнктивными членами высказывания A ⁣ ∨ ⁣ B A!∨!B A ∨ B , ∨ ∨ ∨ – знаком дизъюнкции. В обычной речи возможны два понимания союза «или»: в исключающем и неисключающем смыслах. При первом понимании высказывание « A A A или B B B » означает, что истинно ровно одно из двух высказываний A A A и B B B , при втором – что истинно хотя бы одно из них. В математической логике термин «дизъюнкция» относится к истолкованию союза «или» во втором смысле. Такому употреблению дизъюнкции соответствует т. н. истинностная таблица.

Истинностная таблица для дизъюнкции

Основные операции

Математика, информатика, программирование и другие науки немыслимы без анализа, а также построения теорий по заданным вопросам. Здесь без мышления логического характера не обойтись. Соответствующий момент активно применяется в приложениях — не только сложных, но и элементарных.

Чтобы понять, как работает логи ческая цепочка в калькуляторах истинности, стоит запомнить ключевые операции над логическими выражениями. Всего их несколько:

  • конверсия;
  • дизъюнкция;
  • конъюнкция;
  • строгая дизъюнкция;
  • импликация;
  • эквивалентность.

В программировании также стоит обратить внимание на запись исключающего или. Это – операция XOR.

Порядок обработки

При изучении формулы логики заданных высказываний стоит запомнить порядок (приоритет) обработки операций в сложном выражении. Выполняются манипуляции так:

  • инверсия (логическое отрицание);
  • конъюнкция (логическое умножение);
  • дизъюнкция (логическое сложение);
  • импликация;
  • эквивалентность.

Для того, чтобы изменить прописанный порядок выполнения обработки данных, необходимо в логических выражениях использовать скобки.

Основные логические операции

Существует три основных логических операции при помощи которых можно записать любое логическое выражение (не пугайтесь):

1. Инверсия
2. Конъюнкция
3. Дизъюнкция

Конъюнкция , оно же «Логическое И», оно же «Логическое умножение».
Мы выбираем название «Логическое И» – оно чаще встречается в программировании.
Допустим, у нас есть два простых выражения – А и В. Эти выражения могут иметь значения или 1 (истина), или 0 (ложь). При выполнении операции «Логическое И» мы получим сложное выражение которое примет значение 1 (истина) только в том случае если и А, и В имеют значение 1 (истина), во всех других случаях результат будет 0 (ложь).
Операция «Логическое И» имеет обозначения (в языках программирования): И, , AND, B.

Таблица истинности для конъюнкции

Основные логические операции

  1. Инверсия (отрицание) — это операция, которая преобразует значение истина в значение ложь и наоборот. Обозначается чаще всего символом ¬ или !. Если A — это некоторое логическое выражение, то инверсия этого выражения будет обозначаться как ¬A или !A. Пример:
    • Если A = истина, то ¬A = ложь.
    • Если A = ложь, то ¬A = истина.
    • Конъюнкция (логическое «И») — это операция, которая возвращает значение истина только в том случае, если оба её операнда имеют значение истина. Обозначается символом ∧ или . Таблица истинности конъюнкции:
      • A = истина, B = истина -> A ∧ B = истина.
      • A = истина, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = истина -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») — это операция, которая возвращает значение истина, если хотя бы один из её операндов имеет значение истина. Обозначается символом ∨ или ||. Таблица истинности дизъюнкции:
        • A = истина, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = истина, B = ложь -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = ложь -> A ∨ B = ложь.

        Открыть диалоговое окно с формой по клику

        Влияние на работу компьютера

        Логические операции составляют основу работы вычислительных систем. На физическом уровне компьютеры основаны на транзисторах, которые могут находиться в одном из двух состояний: открытое (проводящее) или закрытое (непроводящее). Эти состояния соответствуют логическим значениям истина и ложь.

        Комбинации транзисторов могут выполнять базовые логические операции, такие как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Таким образом, при помощи логических операций компьютеры могут выполнять сложные алгоритмы, принимать решения и обрабатывать информацию.

        В программировании логические выражения используются для создания условных конструкций, циклов и других элементов управления потоком выполнения программы.

        Понимание логических операций и их свойств критически важно для изучения информатики. Они являются основой для разработки алгоритмов, программирования и, в конечном итоге, для всего, что делает компьютер таким мощным инструментом.

        Оцените статью
        TutShema
        Добавить комментарий