Логическая операция инверсия это

Содержание

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логиче- ского отрицания. Операция логического отрицания является унарной, так как имеет один аргу- мент. Иначе её называют инверсией, дополнением, НЕ и обозначают Ā или ¬А, NOT A . Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным. Пусть А = «Два умножить на два равно четырём» — истинное высказывание, тогда высказывание F = «Два умножить на два не равно четырём», образованное с помощью операции логического отрицания, — ложно. Образуем высказывание F , являющееся логическим отрицанием А: F = Ā Истинность такого высказывания задаётся таблицей истинности функции логического отрицания (таблица 3). Таблица 3 – Таблица истинности функции логического отрицания (инверсия)

АF= Ā
01
10

10 Истинность высказывания, образованного с помощью операции логического отрицания, можно легко определить с помощью таблицы истинности. Например, высказывание: «Два умножить на два не равно четырём» ложно (А = 0), а полученное из него в результате логического отрицания высказывание «Два умножить на два равно четырём» истинно (F = 1).

4. Логическое следование (импликация)

Операцию логического следования иначе называют импликацией и для обозначения используют символ → «следовательно» и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …. Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ – связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно (таблица 4). Импликацией А→В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно. Таблица 4 – Таблица истинности функции логического следования (импликация)

АВА→В
111
100
011
001

Основные логические операции

  1. Инверсия (отрицание) — это операция, которая преобразует значение истина в значение ложь и наоборот. Обозначается чаще всего символом ¬ или !. Если A — это некоторое логическое выражение, то инверсия этого выражения будет обозначаться как ¬A или !A. Пример:
    • Если A = истина, то ¬A = ложь.
    • Если A = ложь, то ¬A = истина.
    • Конъюнкция (логическое «И») — это операция, которая возвращает значение истина только в том случае, если оба её операнда имеют значение истина. Обозначается символом ∧ или . Таблица истинности конъюнкции:
      • A = истина, B = истина -> A ∧ B = истина.
      • A = истина, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = истина -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») — это операция, которая возвращает значение истина, если хотя бы один из её операндов имеет значение истина. Обозначается символом ∨ или ||. Таблица истинности дизъюнкции:
        • A = истина, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = истина, B = ложь -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = ложь -> A ∨ B = ложь.

        Логическая функция — Инверсия. Таблица истинности и свойства


        Открыть диалоговое окно с формой по клику

        Влияние на работу компьютера

        Логические операции составляют основу работы вычислительных систем. На физическом уровне компьютеры основаны на транзисторах, которые могут находиться в одном из двух состояний: открытое (проводящее) или закрытое (непроводящее). Эти состояния соответствуют логическим значениям истина и ложь.

        Комбинации транзисторов могут выполнять базовые логические операции, такие как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Таким образом, при помощи логических операций компьютеры могут выполнять сложные алгоритмы, принимать решения и обрабатывать информацию.

        В программировании логические выражения используются для создания условных конструкций, циклов и других элементов управления потоком выполнения программы.

        Понимание логических операций и их свойств критически важно для изучения информатики. Они являются основой для разработки алгоритмов, программирования и, в конечном итоге, для всего, что делает компьютер таким мощным инструментом.

        Основные операции

        Количество логических операций, которыми обычно оперирует логика 6:

        • Отрицание.
        • Умножение.
        • Сложение
        • Следование.
        • Дизъюнкция.
        • Равнозначность.

        Остановимся на каждом из них детальнее, выясним как правильно они называются в алгебре логики, есть ли у них аналоги в обычной речи, в математике, и как их можно использовать в обычной жизни.

        Отрицание или инверсия

        Операция отрицания или НЕлогическое, корректнее будет название инверсия.Конечное высказывание будет противоположным первоначальному (исходному). Применяется для одного выражения, которое может быть как сложным, так и элементарным.

        На примере этой простейшей операции удобно показывать, насколько лаконичны и информативны таблицы истинности. Обозначим исходное высказывание буквой А, соответственно, окончательное будет не А (или НЕ, ‾, ˥ not А). А их ложность или правдивость напишем при помощи цифр 0 и 1.

        1 logicheskie operacii

        Получается, если исходное значение правда, то новое будет ложь, и наоборот.

        Умножение или конъюнкция А ^ В; А A and В.

        Как видно, при помощи таблицы истинности из 15 ячеек можно описать то, на описание чего при помощи слов пришлось бы потратить минимум 5 полноценных предложений.

        2 logicheskie operacii

        Логическое И в обычной жизни:

        • Хорошая певица должна быть талантливой и упорной (наличие только одного качества не позволит проявить миру свой талант).
        • По условиям задачи А – число меньше 30, В – число делиться на 3. Нужно найти решение А ˄ В.

        Решение: Первое множество содержит числа 1,2,3….29. Второе – 3,6,9,…27. Решением будет множество на пересечении множеств А и В, что хорошо покажут диаграммы Эйлера-Венна. А ˄ В будет истинным для множества чисел 3,6,9,….27.

        Сложение или дизъюнкция V

        Логическое ИЛИ, сложение по-другому называют дизъюнкцией. Оно истинно всегда, кроме случая, если ложны все составные высказывания. Функция распространяется на простые и сложные исходные аргументы. Обозначение А или В; A v В; А ог В.

        3 logicheskie operacii

        В обычной жизни нас окружает логическое ИЛИ:

        • «Чтобы сдать тесты на «отлично», нужно старательно готовиться ИЛИ должно повезти с билетом».
        • Есть задача с 2-мя условиями: А – число делится на 5, В – число делится на 2.

        Решение: Первое множество чисел включает в себя 5, 10, 15…Второе – 10, 20, 30…Решение, при котором истинно Аv В – совокупность обеих множеств (5, 10, 15, 20, 25, 30…).

        Следование или импликация

        Для этого случая важно значение каждого выражения и даже его очередность, потому что первый аргумент считается условием, второй – следствием. Импликация будет ложной лишь в одном случае – если первое составляющее правдиво, а второе нет.

        4 logicheskie operacii

        Такое логическое следование имеет аналог в обычной речи «если.. то», то есть одно событие зависит от другого. Символьно связи выражают следующим образом:

        5 logicheskie operacii

        Логическое следование в обычной жизни:

        • Если пойти к врачу, можно выздороветь (но можно выздороветь и без похода к врачу, а можно и после визита в больницу не выздороветь).
        • По условию задачи, А – если число делится на 10, то В делится на 5.

        Строгая дизъюнкция

        Такая логическая операция выдаст истину, если любое из составляющих высказываний будет истинным, независимо очередности.

        6 logicheskie operacii

        Это пример исключающей функции. Аналог в словесном выражении – «либо». Разница от простой дизъюнкции в том, что конечное выражение будет истинным, только если будет правдой одна переменная.

        7 logicheskie operacii

        Эквиваленция или равнозначность

        Операция, выдающая истину в случае, если обе исходные переменные истины или неправдивы.Обозначают А ~В, А ↔ В.

        8 logicheskie operacii

        Словесная аналогия – «тогда и только тогда, когда», математическая – «необходимо и достаточно». Если сравнить таблицы истинности для предыдущих операций, очевидно, что она противоположна «исключающему ИЛИ», то ее можно посчитать так:

        9 logicheskie operacii

        Пример эквивалентности из обычной жизни:

        • Если вечером на горизонте солнце темно-красного цвета, значит, завтра будет ветреный день.
        • В задаче 2 условия: А – сумма цифр числа равно 9, В – число делится на 9. АВ означает, что число делится на 9, если сумма цифр равна 9.

        Сравнение операций, первоочередность

        Приведены результаты основных логических функций для 2-х переменных:

        10 logicheskie operacii

        Если выражение громоздкое, состоящее из нескольких основных, анализ выполняют по приоритетности функций, по очереди написания, от начала:

        11 logicheskie operacii

        Но скобки делают операцию внутри них самой приоритетной.

        ИНВЕРСИЯ

        ✑ логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному.
        ⚑ Инверсию также называют логическим отрицанием.

        Для записи инверсии используются следующие знаки: НЕ;¬;−
        Например: НЕ А; ¬А; А− .
        Инверсия определяется следующей таблицей истинности.

        ИМПЛИКАЦИЯ

        ✑ Сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (A), а второе (A) является следствием условия (A). .
        ⚑ Импликацию также называют логическим следованием.

        Для записи импликации используют следующие знаки: →, ⇒.
        Свойства импликации: A → B = ¬ A ∨ B.
        Импликация A→B ложна, если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A→B истинна при любом значении B, (из лжи может следовать истинна).

        Эквивалентность или логическая равнозначность

        Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

        Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

        Таблица истинности для эквивалентности

        1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
        2. КНФ $A equiv B = (bar vee B) cdot (A cdot bar)$
        3. ДНФ $A equiv B = bar cdot bar vee A cdot B$

        Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

        Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

        Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

        Обозначения: $A oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A wedge B$ (в языках программирования).

        Таблица истинности для операции сложения по модулю два

        Свойства строгой дизъюнкции:

        • $a oplus 0 = a$(идемпотентность)
        • $a oplus 1 = bar$(отрицание)
        • $a oplus a = 0$(получение 0)
        • $a oplus b = b oplus a$(коммутативность)
        • $(a oplus b) oplus c = a oplus (b oplus c)$(ассоциативность)
        • $(a oplus b) oplus b = a$(поглощение)
        • $bar oplus b = a oplus bar = (a equiv b)$(сравнения по модулю)

        Логические операции и таблицы истинности

        Умножение (конъюнкция)

        Конъюкция – это сложное логическое выражение, являющееся истинным исключительное в том случае, если оба простых выражения, из которых оно состоит, являются истинными. В противном случае, оно ложно.

        Обозначается таким образом: F = A Источники»]

        • https://studfile.net/preview/16711130/page:3/
        • https://skysmart.ru/articles/programming/logicheskie-vyrazheniya-v-informatike
        • https://100urokov.ru/predmety/logicheskie-operacii
        • https://css-info.ru/%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0/
        • https://spravochnick.ru/informatika/algebra_logiki_logika_kak_nauka/logicheskie_operacii_i_ih_svoystva/
        • https://microexcel.ru/logicheskie-operatsii/
        • https://maximumtest.ru/uchebnik/10-klass/informatika/osnovy-logiki

        [/spoiler]

        Оцените статью
        TutShema
        Добавить комментарий