Как складывать числа в шестнадцатеричной системе счисления

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8,16. влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;. вправо от запятой.

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления. Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются латинские буквы A, B, C, D, E, F. Изображения первых шестнадцати чисел в десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системах счисления приведены в табл. 2.

Таблица кодов в различных системах счисления

Десятичная системаДвоичная системаШестнад-цатеричная системаДесятичная системаДвоичная системаШестнад-цатеричная система
А
B
C
D
E
F

Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами.

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение в двоичной системеСложение в восьмеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516. Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 101012 = 2 4 + 2 2 + 2 0 = 16+4+1=21, 258 = 2 . 8 1 + 5 . 8 0 = 16 + 5 = 21, 1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F16+716+316Ответ: 5+7+3 = 2510 = 110012 = 318 = 1916. Проверка: 110012 = 2 4 + 2 3 + 2 0 = 16+8+1=25, 318 = 3 . 8 1 + 1 . 8 0 = 24 + 1 = 25, 1916 = 1 . 16 1 + 9 . 16 0 = 16+9 = 25.

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,2510 = 11001001,012 = 311,28 = C9,416
Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:
11001001,012 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25
311,28 = 3 . 8 2 + 18 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25
C9,416 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

Сложение в разных системах счисления (2, 8, 16). Урок 5

Поделиться с друзьями:

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

studopedia.su — Студопедия (2013 — 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление

Генерация страницы за: 0.007 сек. —>

Вычитание шестнадцатеричных чисел.

Вычитание шестнадцатеричных чисел удобно проводить столбиком. Если нужно отнять от меньшего числа большее, занимаем единицу в старшем разряде. В младший разряд она приходит как десятичное (шестнадцатеричное ). Если имеются промежуточные разряды (содержащие нули), в них остаётся десятичное (шестнадцатеричное ).

Считаем справа налево:

  • ;
  • занимаем единицу в старшем разряде ;
  • теперь в следующем разряде вместо единицы – ноль занимаем единицу в старшем разряде ;
  • в следующем разряде вместо двойки – единица занимаем единицу в старшем разряде ;
  • в следующем разряде вместо одиннадцати ( ) – десять ( ) занимаем единицу в старшем разряде ;
  • в следующем разряде вместо десяти ( ) – девять ;

Сложение отрицательных чисел и чисел с разными знаками осуществляется так же, как и для двоичных чисел (см. выше, стр. 8).

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другие системы

    1. Делят данное десятичное число на основание системы счисления, в которую следует перевести это число.
    2. Переводят остаток от деления в новую систему счисления. Это будет младший разряд нового числа.
    3. Если частное от деления не меньше основания новой системы счисления, то продолжают деление, как указано в п.1. Следующий остаток, переведенный в новую систему счисления, даёт второй разряд числа и т.д.
    4. Старший разряд нового числа равен последнему частному от деления, меньшему основания новой системы счисления.

    В качестве примера, переведем число 189 из десятичной в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления 2 .

    Перевод 16 –10

    Для прямого перевода шестнадцатеричного числа в десятичную систему удобно пользоваться развернутой формой записи, когда число представляют в виде суммы, в которой слагаемые получаются путем умножения символа разряда (числа или числового эквивалента буквы) на 16 в степени соответствующего разряда.

    Например, 1F4 = 1 * (16^2) + 15 * (16^1) + 4 * (16^0) = 256 + 240 + 4 = 500

    Обратный перевод выполняется последовательным делением десятичного числа на 16 и взятия остатков от деления. Причем полученные остатки в диапазоне от 10 до 15 надо заменить соответствующей буквой.

    Выполняя обратный перевод, следует помнить, что результирующее значение получают путем записи полученных от деления остатков в обратном порядке, начиная с последнего частного. Каждый остаток от деления должен получаться всегда меньше шестнадцати.

    Например: 500 / 16 = 31 (остаток 4)

    31 / 16 = 1 (остаток 15 заменяем на букву F)

    Таким образом, получено шестнадцатеричное число 1F4.

    Перевод 16 – 2

    Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичную систему каждую его цифру заменяют группой из четырех нулей и единиц, которую принято называть «тетрадой». Для перевода обычно пользуются таблицей соответствия шестнадцатеричных символов и двоичных тетрад.

    Например, 1F4 = (0001)(1111)(0100).

    Вычитание шестнадцатеричных чисел

    Начнем мы снова с привычной нам десятичной системы счисления. Давайте решим пример: 123-85.

    Вычитание снова происходит поразрядно, но переносы делаются на сей раз слева направо. Поясню. В нашем примере необходимо из 3 отнять 5. Этого сделать нельзя, поэтому мы занимаем один десяток из левого разряда. Теперь 5 нужно отнять от 13. В результате мы получим 8, запишем этот результат под разрядом единиц. От десятков в уменьшаемом (число 123) мы один десяток заняли в разряд единиц. Теперь здесь только 1 десяток. Нам нужно из одного вычесть 8. Для этого снова приходится занять единицу из левого разряда (теперь уже сотен). Значит нужно из 11 вычесть 8. В результате получаем – 3 и записываем его под разрядом десятков. А единственную сотню мы заняли для вычитания десятков. Пример решён: .

    Перейдем к вычитанию шестнадцатеричных чисел. Все делается аналогично, надо только помнить, что в случае необходимости из левых разрядов мы будем занимать не 10, а 16. Ну и снова вспомним, чему равны цифры старше девятки:

    a = 10, b = 11, c = 12, d = 13, e = 14, f = 15.

    Давайте решим пример 0xBC4-0xAF.

    Из 4 нельзя вычесть F, значит из левого разряда мы займем 16. Теперь F надо вычитать из 20. В результате — 5, записываем его под разрядом единиц. Цифра C уменьшилась на 1, теперь это B. Значит надо A вычесть из B. Нетрудно догадаться, что в результате будет 1. Записываем этот результат в разряде десятков. Из сотен в этот раз мы ничего не занимали и в вычитаемом только 2 цифры — сотен нет, то есть сносим B из уменьшаемого в результат. Итак: 0xBC4-0xAF = 0xB15, пример решен. Было ли сложно? 🙂

    Сложение в позиционных системах счисления с основанием q

    Нам привычнее всего выполнять арифметические операции в десятичной системе счисления, этому нас учат с детства. А как выполняются операции сложения, вычитания, умножения и деления в других позиционных системах счисления?

    Так как все рассматриваемые нами системы счисления относятся к виду позиционных систем счисления, то правила сложения, вычитания, умножения и деления в них одинаковые. А также одинаковыми для всех являются правила арифметики.

    Почему иногда возникают трудности с выполнением арифметических операций в двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной системах счисления?

    Допустим, (1+1) в десятичной системе счисления равняется двум. А в двоичной?

    В двоичной системе счисления нет цифры (2), поэтому (1+1=10). Трудности возникают из-за того, что непонятен принцип построения числового ряда в других позиционных системах счисления.

    Давай вспомним.

    Числовой ряд двоичной системы счисления: (0), (1). На этом разряд единиц заканчивается, начинается разряд десятков: (10), (11). На этом заканчивается разряд десятков. Далее добавляются сотни: (100), (101), (110), (111). И таким образом строится остальной числовой ряд.

    Восьмеричная система счисления

    Числовой ряд: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). На этом единицы закончились, добавляются десятки: (10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17). Закончился первый десяток, далее будет второй, третий, четвёртый, пятый, шестой, седьмой, после этого добавится разряд сотен: (100, 101, 102, 103. ) и т. д.

    Шестнадцатеричная система счисления
    Единицы: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9, A , B , C , D , E , F .
    После перечисления всех единиц добавляется первый десяток: 10, 11, 12 . 1 B , 1 C , 1 D , 1 F .
    Самое большое двузначное шестнадцатеричное число: (FF).
    После него добавляется разряд сотен: 100, 101, 102 . 2 AA , 2 AB . F00 , F01 , F02 . FFE , FFF .
    Самое большое шестнадцатеричное число (FFF) равняется (4095) в десятичной системе счисления.
    Для удобства сложения чисел в разных позиционных системах счисления применяют таблицы сложения .

    Скриншот 27-10-2021 145147.jpg
    Рис. (1). Сложение в двоичной системе счисления

    Скриншот 27-10-2021 145157.jpg

    Рис. (2). Сложение в восьмеричной системе счисления

    Скриншот 27-10-2021 145209.jpg

    Рис. (3). Сложение в шестнадцатеричной системе счисления
    пользуясь таблицами, выполним сложение в разных системах счисления.

    + 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 10 1101 ¯ 1001011010 + 7 2 1 6 1 5 1036 ¯ 10323 + 12 A0 25 F ¯ 14EF

    Сложение в шестнадцатеричной системе

    При сложении цифры суммируются по разрядам, и, если при этом возникает переполнение, то 1 переносится в старший разряд (влево).

    ПРИМЕР 1: Сложить числа 14 и 7 в различных позиционных системах счисления.

    Десятичная: 1410 + 710 Двоичная: 1 1102 + 1112 Восьмеричная: 168 + 78

    Шестнадцатеричная: Е16 + 716

    Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

    10 1012 = 1 x 2 4 + 0 x 2 3 + 1 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110

    258 = 2 x 8 1 + 5 x 8 0 = 16 + 5 = 2110

    1516 = 1 x 16 1 + 5 x 16 0 = 16 + 5 = 2110

    ПРИМЕР 2: Сложить числа 15, 6 и 4 в различных позиционных системах счисления.

    Десятичная:1510 + 610 + 410 Двоичная: 1 1112 + 1102 + 1002

    Восьмеричная: 178 + 68 + 48 Шестнадцатеричная: F16 + 616 + 416

    Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

    11 0012 = 1 x 2 4 + 1 x 2 3 + 0 x 2 2 + 0 x 2 1 + 1 x 2 0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510

    318 = 3 x 8 1 + 1 x 8 0 = 24 + 1 = 2510

    1916 = 1 x 16 1 + 9 x 16 0 = 16 + 9 =2510

    ПРИМЕР 3: Сложить числа 41,5 и 31,75 в различных позиционных системах счисления.

    Десятичная: 41,510 + 31,7510 Двоичная: 101 001,1 + 11 111,11

    Восьмеричная: 51,48 + 37,68 Шестнадцатеричная: 29,816 + 1F,C16

    Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:

    1 001 001,012 = 1×2 6 + 0x2 5 + 0x2 4 + 1×2 3 + 0x2 2 + 0x2 1 + 1×2 0 + 0x2 -1 + 1x 2 -2 =

    = 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1/4 =

    111,28 = 1 x 8 2 + 1 x 8 1 + 1 x 8 0 + 2 x 8 -1 = 64 + 8 + 1 + 2/8 = 73,2510

    49,416 = 4 x 16 1 + 9 x 16 0 + 4 x 16 -1 = 64 + 9 + 4/16 = 73,2510

    ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Сложить числа в различных позиционных системах счисления, аналогично примеру 1.Сделать проверку.

    Номер вариантаЧислаНомер вариантаЧисла
    18 и 5649 и 39
    34 и 1227 и 58
    63 и 3476 и 26
    48 и 1414 и 79
    25 и 2382 и 17
    72 и 4157 и 34
    52 и 2336 и 47
    85 и 2368 и 16

    Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

    Рекомендуем для прочтения:

    Закон Бугера-Ламберта-Бера Фотометрические методы анализа. Все вещества, поглощающие электромагнитное излучение, вещества поглощающие излучение видимого спектра.
    Организационная структура предприятий в строительстве Организационная структура предприятия (строительной организации.
    Дошкольная педагогика как наука: предмет, объект, методы исследования, основные понятия План ответа: 1. Дошкольная педагогика, определение 2. Объект, предмет дошкольной педагогики 3. Основные понятия дошкольной.
    Этапы образования Русского централизованного государства Образование Русского централизованного государства проходило в несколько этапов: Возвышение Москвы — конец ХIII — начало ХIУ вв.
    Разрешающая способность спектральной решетки. угловая и линейная дисперсия. Дифракция света имеет существенное значение в приборах для исследования электромагнитных излучений атомов и молекул Источники»]

    • https://studopedia.su/20_98212_slozhenie-v-shestnadtsatirichnoy-sisteme.html
    • https://studfile.net/preview/7763214/page:3/
    • https://obrazovaka.ru/informatika/shestnadcatirichnaya-sistema-schisleniya-tablica.html
    • http://www.vsmirnov.ru/articles/hexmetric.html
    • https://www.yaklass.ru/p/informatika/10-klass/teoreticheskie-osnovy-informatiki-7279404/deistviia-s-chislami-v-raznykh-sistemakh-schisleniia-6681309/re-7168df65-02aa-4a3f-81fa-cfb6918c112a
    • https://studopedia.ru/12_119284_slozhenie-v-shestnadtsaterichnoy-sisteme.html
    • https://obrazovaka.ru/informatika/shestnadcatirichnaya-sistema-schisleniya-tablica.html

    [/spoiler]

    Оцените статью
    TutShema
    Добавить комментарий