Как определить величину эквивалентного сопротивления при последовательном соединении резисторов

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением Rэкв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=Rэкв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Последовательным называют такое соединение элементов цепи, при котором во всех включенных в цепь элементах возникает один и тот же ток I (рис. 1.4).

На основании второго закона Кирхгофа (1.5) общее напряжение U всей цепи равно сумме напряжений на отдельных участках:

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи общее эквивалентное сопротивление цепи равно арифметической сумме сопротивлений отдельных участков. Следовательно, цепь с любым числом последовательно включенных сопротивлений можно заменить простой цепью с одним эквивалентным сопротивлением Rэкв (рис. 1.5). После этого расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома

,

и по вышеприведенным формулам рассчитывают падение напряжений U1, U2, U3 на соответствующих участках электрической цепи (рис. 1.4).

Недостаток последовательного включения элементов заключается в том, что при выходе из строя хотя бы одного элемента, прекращается работа всех остальных элементов цепи.

Электрическая цепь с параллельным соединением элементов

Параллельным называют такое соединение, при котором все включенные в цепь потребители электрической энергии, находятся под одним и тем же напряжением (рис. 1.6).

В этом случае они присоединены к двум узлам цепи а и b, и на основании первого закона Кирхгофа (1.3) можно записать, что общий ток I всей цепи равен алгебраической сумме токов отдельных ветвей:

I = I1 + I2 + I3, т.е. ,

откуда следует, что

.

В том случае, когда параллельно включены два сопротивления R1 и R2, они заменяются одним эквивалентным сопротивлением

.

Из соотношения (1.6), следует, что эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей:

Урок 11. ВСЕ Способы соединения резисторов

По мере роста числа параллельно включенных потребителей проводимость цепи gэкв возрастает, и наоборот, общее сопротивление Rэкв уменьшается.

Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями (рис. 1.6)

Отсюда следует, что

,

т.е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.

По параллельно включенной схеме работают в номинальном режиме потребители любой мощности, рассчитанные на одно и то же напряжение. Причем включение или отключение одного или нескольких потребителей не отражается на работе остальных. Поэтому эта схема является основной схемой подключения потребителей к источнику электрической энергии.

Электрическая цепь со смешанным соединением элементов

Смешанным называется такое соединение, при котором в цепи имеются группы параллельно и последовательно включенных сопротивлений.

Для цепи, представленной на рис. 1.7, расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми: R1=R2=R3=R4=R5=R. Сопротивления R4 и R5 включены параллельно, тогда сопротивление участка цепи cd равно:

.

В этом случае исходную схему (рис. 1.7) можно представить в следующем виде (рис. 1.8):

На схеме (рис. 1.8) сопротивление R3 и Rcd соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно:

.

Тогда схему (рис. 1.8) можно представить в сокращенном варианте (рис. 1.9):

На схеме (рис. 1.9) сопротивление R2 и Rad соединены параллельно, тогда сопротивление участка цепи аb равно

.

Схему (рис. 1.9) можно представить в упрощенном варианте (рис. 1.10), где сопротивления R1 и Rab включены последовательно.

Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы (рис. 1.7) будет равно:

.

Рис. 1.10

Рис. 1.11

В результате преобразований исходная схема (рис. 1.7) представлена в виде схемы (рис. 1.11) с одним сопротивлением Rэкв. Расчет токов и напряжений для всех элементов схемы можно произвести по законам Ома и Кирхгофа.

Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R12, R13, R24, R34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R13, R12, R23 и R24, R34, R23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R24 R34 R23 звездой R2 R3 R4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

; ; .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

; ; .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

.

Резисторы играют важную роль в электрических цепях. Это основные пассивные компоненты, предназначенные для ограничения тока.

Основные функции резисторов:

  • Ограничение тока — резисторы используются для ограничения потока электрического тока в цепи, чтобы защитить другие компоненты от перегрузки.
  • Регулирование напряжения — подбирая резисторы определенного сопротивления, можно регулировать напряжение на более низкие или более высокие значения.
  • Деление напряжения — несколько резисторов, подключенных последовательно, могут быть использованы для деления входного напряжения на несколько выходных.

Резисторы объединяют в цепях для решения различных задач:

  • Обеспечение тока различной величины для различных компонентов цепи. Например, один диод может работать на 20 мА, а другой на 200 мА.
  • Создание электрических цепей с пропорциональным делением напряжения, например, на выходах операционных усилителей.

В целом, резисторы объединяют для того, чтобы реализовать тот или иной функционал в электрической цепи — ограничение тока, деление напряжения и т.д.

Основные типы соединения резисторов

Есть 3 основных способа соединения резисторов в цепях:

  1. Последовательное соединение — резисторы соединены «в цепочку», один за другим. Ток через все резисторы равен, а общее сопротивление равно сумме сопротивлений отдельных резисторов.
  2. Параллельное соединение — резисторы соединены параллельно между двумя точками цепи. Напряжение на всех резисторах равно, а общее сопротивление меньше сопротивления любого отдельного резистора.
  3. Смешанное соединение — комбинация последовательного и параллельного соединения резисторов. Используется для создания более сложных цепей.

Каждый тип соединения влияет на ток и напряжение по-разному:

  • При последовательном соединении ток одинаковый, напряжение складывается.
  • При параллельном соединении напряжение одинаковое, ток суммируется.
  • При смешанном соединении и ток, и напряжение на отдельных резисторах разные и зависят от конкретной схемы.

Таким образом, выбирая последовательное, параллельное или смешанное соединение резисторов, можно регулировать ток и напряжение в цепи и получать нужный функционал.

Смешанное соединение резисторов

Смешанное соединение резисторов представляет собой комбинации последовательных и параллельных соединений. В принципе любую даже самую сложную электрическую цепь, состоящую из источников питания, конденсаторов, диодов, транзисторов и других радиоэлектронных элементов в конкретный момент времени можно заменить резисторами и источниками напряжения, параметры которых изменяются с каждым последующим моментом времени. Для примера изобразим схему, имеющую несколько соединений.

Смешанное соединение резисторов схема

Общее (эквивалентное) сопротивление находится методом «сворачивания» схемы. Сначала определяется общее сопротивление одного отдельного соединения, затем последующего и так далее.

Смешанное соединение резисторов

Теперь самостоятельно подсчитайте общее сопротивления схемы, приведенной ниже.

Смешанное соединение резисторов

Правильный ответ: 2 ома.

Электроника для начинающих

Еще статьи по данной теме

Логические операции | Программирование микроконтроллеров AVR на С

Массивы | Программирование микроконтроллеров

22 комментария
Спасибо за задачу, получился ответ и это реально интересно. От души! 06.11.2018 Ответить

спасибо за ваш труд очень доступно и понятно много уроков пересмотрел ваш самый лучший 19.11.2018 Ответить

По вашей задаче у меня вышло 2,52 Ома.
Видемо где то не так посчитал.
Не моглиба пояснить данный пример? 10.01.2019 Ответить

я тоже на этом моменте тормознул, где три резистора параллельных по 6 Ом. упрощённая формула объяснена не полностью, она вводит в заблуждение. посчитай по сложному с единицами в числителе. 08.07.2020 Ответить

спасибо огромное)) на смешанном понимаешь как считать и параллельное и последовательное соединения,много раз пришлось пересчитывать так как в конце ошибался, но в итоге все получилось)) 31.03.2019 Ответить

Схема упрощена до формулы 3х параллельно включенных резисторов с одинаковым сопротивлением по 6 Ом. Что дает ответ Rэкв. = 2 Ома. Но, если задействовать формулу сворачивания, начиная справо налево, то Rэкв. = 2,4 Ома, что округлив дает тот же результат. 12.06.2019 Ответить

Схема упрощена до формулы 3х параллельно включенных резисторов с одинаковым сопротивлением по 6 Ом. Что дает ответ Rэкв. = 2 Ома. Но, если задействовать формулу сворачивания, начиная справо налево, то Rэкв. = 2,4 Ома, что округлив дает тот же результат. 12.06.2019 Ответить

Здравствуйте. У меня сколько не решая получается 4 Ома. Пожалуйста напишите мне на почту правильное решение данной схемы 12.01.2020 Ответить

1,67 получилось 08.03.2020 Ответить
ЗДравствуйтке, у меня вышло 2,17Ком 22.04.2020 Ответить

Как это 3 параллельных по 6 ом, если первая же параллель даёт 5(3 по 3 на выходе 1+4последовательный) 08.06.2020 Ответить

Добрый день у меня палучилось : 3 резистора по 6 Ом соединяемах паролельно а паиом 6/3=2 2 Ом 16.09.2020 Ответить

Подскажите пожалуйста как вы решали, я решаю и выходит 4. Что я делаю не так? 20.12.2020 Ответить
спасибо тебе огромное 11.01.2021 Ответить

У меня вообще получилось 4,3. Что я не так посчитал? Я сначала суммировал два правых резистора и вышло 6 кОм. Потом 6 х 3 = 18 и 6 + 3 = 9 кОм. 18/9= 2 кОм. 2 суммирую с верхним резистором. 2+4=6 кОм. Дальше беру 3 параллельных резистора. 6 х 6 х 6= 216 и 6 + 6 + 6 = 18. Делю 216/18 = 12. И прибавляю последовательный резистор 4 кОм. 12 + 4 = 16 кОм. И дальше опять параллельное соединение. 16 х 6 = 96 и 16 + 6 = 22. Затем 96/22=4.3кОм. Ответ = 4.3 кОм. 12.07.2021 Ответить

Я получил 4. 05.08.2021 Ответить
Все получилось, спасибо! 01.10.2021 Ответить
Aleksandr Melniciuk

Полный бред, число вытащили с головы по-моему. Как тут некрути несчитай всеравно 2 ома неполучается. 24.12.2021 Ответить

Спасибо большое за ваш труд! Получилось 2 Ома. Нужно внимательно следить за тем, где параллельное соединение, а где последовательное. 10.02.2022 Ответить

Роман Курачковский

Главная ошибка неправильного подсчёта в том, что когда три параллельных резистора по 6 Ом их нужно справа налево 6х6 и разделить 6+6 получим = 3 Ом, после чего 6х3 делим 6+3 получаем 2 Ома, потом 2+4=6 и вторая половина 2+4=6 , после чего остается параллельное соединение 6+6+6 и опять не делаем ошибку первое решение справа на лево 6х6 и делим 6+6 получаем 3, потом 3х6 и делим 3+6 , получаем в итоге Два Ома, без всяких округлений 15.03.2022 Ответить

Все верно, долго ломал голову и понял где ошибка, спасибо что решение не написали, са нашёл, сам решил и запомнил навсегда, 2 Ома 13.04.2022 Ответить

Доброго времени суток. У многих при подсчете суммарного сопротивления получилась ошибка (у кого 4.3 Ом, у кого 2,5 Ом и т .д.). Проблема кроется в том, что многие (помимо ошибки в определении параллельного и последовательного соединения) неправильно поняли сокращенную формулу подсчета, показанную автором: Rобщ = (R1 * R2) / R1 + R2 Многие по ошибке используют эту формулу для подсчета суммарного сопротивления при любом количестве параллельно подключенных резисторов. Например, в случае с 3-мя параллельно подключенными резисторами по 6 Ом многие посчитали так: Rобщ = (R1 * R2 * R3) / (R1 + R2 + R3) = (6 * 6 * 6) / (6 + 6 + 6) = 216 / 18 = 12 Ом ЭТО ОШИБКА. Сокращенная формула подсчета, показанная автором, применима только при расчете суммарного сопротивления 2-х параллельно подключенных резисторов. Если таких резисторов 3 и больше, то формула работать не будет из-за особенности сложения дробей. Например, в вышеупомянутом случае с 3-мя резисторами по 6 Ом правильный подсчет будет выглядеть так: Rобщ = (R1 * R2 * R3) / (R2 * R3 + R1 * R3 + R1 * R2) = (6 * 6 * 6) / (6 * 6 + 6 * 6 + 6 * 6) = 216 / (36 + 36 + 36) = 216 / 108 = 2 Ом Эту формулу, конечно, тоже можно было упростить, так как в примере у всех резисторов одинаковый номинал, соответственно одинаковые знаменатели. Но могут быть и другие значения, поэтому формулу привел в общем виде. По итогу. Если у вас 2 параллельно подключенных резистора — используйте сокращенную формулу: Rобщ = (R1 * R2) / R1 + R2
Если резисторов 3 и больше — то используйте формулу с единицами в числителе: Rобщ = 1 / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + … + 1/Rn) или пользуйтесь готовыми онлайн-калькуляторами. 02.01.2023 Ответить

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

В этой статье мы рассмотрим свойства двух основных способов соединения различных элементов в электрических цепях.

Последовательная цепь не имеет разветвлений, сопротивления элементы друг за другом, как вагоны в поезде. Параллельная цепь содержит точки разветвления (узлы), сопротивления элементы друг с другом подобно тому, как держат себя танцоры во время танца (смотрите пример на рисунке 1).

Последовательные и параллельные соединения сопротивления и лампочки

Рис. 1. Последовательные и параллельные соединения сопротивления и лампочки

Самый простой способ соединить сопротивления — соединить их последовательно или параллельно.

Расчет проще всего при последовательном соединении: общее сопротивление состоит из сложения отдельных сопротивлений. Таким образом, при последовательном соединении общее сопротивление всегда больше, чем наибольшее из отдельных сопротивлений.

При объединении двух сопротивления в параллельную цепь расчет немного усложняется. Полное сопротивление есть величина, обратная сумме обратных величин индивидуальных сопротивлений. В параллельной цепи общее сопротивление всегда меньше наименьшего индивидуального сопротивления.

Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

Рис. 2. Последовательное и параллельное соединение сопротивлений

Последовательное соединение сопротивлений

Возьмем три постоянных сопротивления R1, R2 и R3 и включим их в цепь так, чтобы конец первого сопротивления R1 был соединен с началом второго сопротивления R 2, конец второго — с началом третьего R 3, а к началу первого сопротивления и к концу третьего подведем проводники от источника тока (рис. 3 ).

Такое соединение сопротивлений называется последовательным. Очевидно, что ток в такой цепи будет во всех ее точках один и тот же.

Последовательное соединение сопротивлений

Рис 3 . Последовательное соединение сопротивлений

Как определить общее сопротивление цепи, если все включенные в нее последовательно сопротивления мы уже знаем? Используя положение, что напряжение U на зажимах источника тока равно сумме падений напряжений на участках цепи, мы можем написать:

U1 = IR1 U2 = IR2 и U3 = IR3

IR = IR1 + IR2 + IR3

Вынеся в правой части равенства I за скобки, получим

IR = I(R1 + R2 + R3) .

Поделив теперь обе части равенства на I , будем окончательно иметь

Таким образом, мы пришли к выводу, что при последовательном соединении сопротивлений общее сопротивление всей цепи равно сумме сопротивлений отдельных участков.

Проверим этот вывод на следующем примере. Возьмем три постоянных сопротивления, величины которых известны (например, R1 == 10 Ом, R 2 = 20 Ом и R 3 = 50 Ом). Соединим их последовательно (рис. 4 ) и подключим к источнику тока, ЭДС которого равна 60 В (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).

Пример последовательного соединения трех сопротивлений

Рис. 4. Пример последовательного соединения трех сопротивлений

Подсчитаем, какие показания должны дать приборы, включенные, как показано на схеме, если замкнуть цепь. Определим внешнее сопротивление цепи:

R = 10 + 20 + 50 = 80 Ом.

Найдем ток в цепи по закону Ома:

Зная ток в цепи и сопротивления ее участков, определим падение напряжения на каждое участке цепи

U 1 = 0,75х 10 = 7,5 В, U 2 = 0,75 х 20=15 В, U3 = 0,75 х 50 = 37,5 В.

Зная падение напряжений на участках, определим общее падение напряжения во внешней цепи, т. е. напряжение на зажимах источника тока

U = 7,5+15 + 37,5 = 60 В.

Мы получили таким образом, что U = 60 В, т. е. несуществующее равенство ЭДС источника тока и его напряжения. Объясняется это тем, что мы пренебрегли внутренним сопротивлением источника тока.

Замкнув теперь ключ выключатель К, можно убедиться по приборам, что наши подсчеты примерно верны.

Параллельное соединение сопротивлений

Возьмем два постоянных сопротивления R1 и R2 и соединим их так, чтобы начала этих сопротивлений были включены в одну общую точку а, а концы — в другую общую точку б. Соединив затем точки а и б с источником тока, получим замкнутую электрическую цепь. Такое соединение сопротивлений называется параллельным соединением.

Параллельное соединение сопротивлений

Рис 5. Параллельное соединение сопротивлений

Проследим течение тока в этой цепи. От положительного полюса источника тока по соединительному проводнику ток дойдет до точки а. В точке а он разветвится, так как здесь сама цепь разветвляется на две отдельные ветви: первую ветвь с сопротивлением R1 и вторую — с сопротивлением R2. Обозначим токи в этих ветвях соответственно через I1 и I 2. Каждый из этих токов пойдет по своей ветви до точки б. В этой точке произойдет слияние токов в один общий ток, который и придет к отрицательному полюсу источника тока.

Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений получается разветвленная цепь. Посмотрим, какое же будет соотношение между токами в составленной нами цепи.

Включим амперметр между положительным полюсом источника тока (+) и точкой а и заметим его показания. Включив затем амперметр (показанный «а рисунке пунктиром) в провод, соединяющий точку б с отрицательным полюсом источника тока (—), заметим, что прибор покажет ту же величину силы тока.

Значит, сила тока в цепи до ее разветвления (до точки а) равна силе тока после разветвления цепи (после точки б).

Будем теперь включать амперметр поочередно в каждую ветвь цепи, запоминая показания прибора. Пусть в первой ветви амперметр покажет силу тока I1 , а во второй — I 2. Сложив эти два показания амперметра, мы получим суммарный ток, по величине равный току I до разветвления (до точки а).

Следовательно, сила тока, протекающего до точки разветвления, равна сумме сил токов, утекающих от этой точки.

Выражая это формулой, получим

Это соотношение, имеющее большое практическое значение, носит название закона разветвленной цепи .

Рассмотрим теперь, каково будет соотношение между токами в ветвях.

Включим между точками а и б вольтметр и посмотрим, что он нам покажет. Во-первых, вольтметр покажет напряжение источника тока, так как он подключен, как это видно из рис. 5 , непосредственно к зажимам источника тока. Во-вторых, вольтметр покажет падения напряжений U1 и U2 на сопротивлениях R 1 и R2, так как он соединен с началом и концом каждого сопротивления.

Следовательно, при параллельном соединении сопротивлений напряжение на зажимах источника тока равно падению напряжения на каждом сопротивлении.

Это дает нам право написать, что

где U — напряжение на зажимах источника тока; U 1 — падение напряжения на сопротивлении R 1 , U2 — падение напряжения на сопротивлении R2. Вспомним, что падение напряжения на участке цепи численно равно произведению силы тока, протекающего через этот участок, на сопротивление участка U = IR .

Поэтому для каждой ветви можно написать:

U1 = I1R1 и U2 = I2R2 , но так как U 1 = U2, то и I1R1 = I2R2 .

Применяя к этому выражению правило пропорции, получим I1/ I2 = U2 / U1 т. е. ток в первой ветви будет во столько раз больше (или меньше) тока во второй ветви, во сколько раз сопротивление первой ветви меньше (или больше) сопротивления второй ветви.

Итак, мы пришли к важному выводу, заключающемуся в том, что при параллельном соединении сопротивлений общий ток цепи разветвляется на токи, обратно пропорциональные величинам сопротивлении параллельных ветвей. Иначе говоря, чем больше сопротивление ветви, тем меньший ток потечет через нее, и, наоборот, чем меньше сопротивление ветви, тем больший ток потечет через эту ветвь.

Убедимся в правильности этой зависимости на следующем примере. Соберем схему, состоящую из двух параллельно соединенных сопротивлений R1 и R 2, подключенных к источнику тока. Пусть R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом и U = 3 В.

Подсчитаем сначала, что покажет нам амперметр, включенный в каждую ветвь:

I1 = U / R1 = 3 / 10 = 0 ,3 А = 300 мА

I 2 = U / R 2 = 3 / 20 = 0,15 А = 150 мА

Общий ток в цепи

I = I1 + I2 = 300 + 150 = 450 мА

Проделанный нами расчет подтверждает, что при параллельном соединении сопротивлений ток в цепи разветвляется обратно пропорционально сопротивлениям.

Действительно, R1 == 10 Ом вдвое меньше R 2 = 20 Ом, при этом I1 = 300 мА вдвое больше I2 = 150 мА. Общий ток в цепи I = 450 мА разветвился на две части так, что большая его часть ( I1 = 300 мА) пошла через меньшее сопротивление ( R1 = 10 Ом), а меньшая часть ( R2 = 150 мА) —через большее сопротивление ( R 2 = 20 Ом).

Такое разветвление тока в параллельных ветвях сходно с течением жидкости по трубам. Представьте себе трубу А, которая в каком-то месте разветвляется на две трубы Б и В различного диаметра (рис. 6). Так как диаметр трубы Б больше диаметра трубок В, то через трубу Б в одно и то же время пройдет больше воды, чем через трубу В, которая оказывает потоку воды большее сопротивление.

Рис. 6 . Через тонкую трубу в один и тот же промежуток времени пройдет воды меньше, чем через толстую

Рассмотрим теперь, чему будет равно общее сопротивление внешней цепи, состоящей из двух параллельно соединенных сопротивлений.

Под этим общим сопротивлением внешней цепи надо понимать такое сопротивление, которым можно было бы заменить при данном напряжении цепи оба параллельно включенных сопротивления, не изменяя при этом тока до разветвления. Такое сопротивление называется эквивалентным сопротивлением.

Вернемся к цепи, показанной на рис. 5, и посмотрим, чему будет равно эквивалентное сопротивление двух параллельно соединенных сопротивлений. Применяя к этой цепи закон Ома, мы можем написать: I = U/R , где I — ток во внешней цепи (до точки разветвления), U — напряжение внешней цепи, R — сопротивление внешней цепи, т. е. эквивалентное сопротивление.

Точно так же для каждой ветви

I1 = U1 / R1 , I2 = U2 / R2 ,

где I1 и I 2 — токи в ветвях; U 1 и U2 — напряжение на ветвях; R1 и R2 — сопротивления ветвей.

По закону разветвленной цепи:

Подставляя значения токов, получим

U / R = U1 / R1 + U2 / R2

Так как при параллельном соединении U = U1 = U2 , то можем написать

U / R = U / R1 + U / R2

Вынеся U в правой части равенства за скобки, получим

U / R = U (1 / R1 + 1 / R2 )

Разделив теперь обе части равенства на U , будем окончательно иметь

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2

Помня, что проводимостью называется величина, обратная сопротивлению , мы можем сказать, что в полученной формуле 1 / R — проводимость внешней цепи; 1 / R1 проводимость первой ветви; 1 / R2 — проводимость второй ветви.

На основании этой формулы делаем вывод: при параллельном соединении проводимость внешней цепи равна сумме проводимостей отдельных ветвей.

Следовательно, чтобы определить эквивалентное сопротивление включенных параллельно сопротивлений, надо определить проводимость цепи и взять величину, ей обратную.

Из формулы также следует, что проводимость цепи больше проводимости каждой ветви, а это значит, что эквивалентное сопротивление внешней цепи меньше наименьшего из включенных параллельно сопротивлений.

Рассматривая случай параллельного соединения сопротивлений, мы взяли наиболее простую цепь, состоящую из двух ветвей. Однако на практике могут встретиться случаи, когда цепь состоит из трех и более параллельных ветвей. Как же поступать в этих случаях?

Оказывается, все полученные нами соотношения остаются справедливыми и для цепи, состоящей из любого числа параллельно соединенных сопротивлений.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример.

Возьмем три сопротивления R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом и R3 = 60 Ом и соединим их параллельно. Определим эквивалентное сопротивление цепи (рис. 7 ).

Цепь с тремя параллельно соединенными сопротивлениями

Рис. 7. Цепь с тремя параллельно соединенными сопротивлениями

Применяя для этой цепи формулу

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 ,

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3

и, подставляя известные величины, получим

1 / R = 1 / 10 + 1 / 20 + 1 / 60

Сложим эта дроби: 1/R = 10 / 60 = 1 / 6, т. е.. проводимость цепи 1 / R = 1 / 6 Следовательно, эквивалентное сопротивление R = 6 Ом.

Таким образом, эквивалентное сопротивление меньше наименьшего из включенных параллельно в цепь сопротивлений , т. е. меньше сопротивления R1.

Посмотрим теперь, действительно ли это сопротивление является эквивалентным, т. е. таким, которое могло бы заменить включенные параллельно сопротивления в 10, 20 и 60 Ом, не изменяя при этом силы тока до разветвления цепи.

Допустим, что напряжение внешней цепи, а следовательно, и напряжение на сопротивлениях R1, R2, R3 равно 12 В. Тогда сила токов в ветвях будет:

I1 = U/R1 = 12 / 10 = 1 ,2 А I 2 = U/R 2 = 12 / 20 = 1 ,6 А I 3 = U/R1 = 12 / 60 = 0, 2 А

Общий ток в цепи получим, пользуясь формулой

I = I1 + I2 + I3 =1,2 + 0,6 + 0,2 = 2 А.

Проверим по формуле закона Ома, получится ли в цепи ток силой 2 А, если вместо трех параллельно включенных известных нам сопротивлений включено одно эквивалентное им сопротивление 6 Ом.

I = U / R = 12 / 6 = 2 А

Как видим, найденное нами сопротивление R = 6 Ом действительно является для данной цепи эквивалентным.

В этом можно убедиться и на измерительных приборах, если собрать схему с взятыми нами сопротивлениями, измерить ток во внешней цепи (до разветвления), затем заменить параллельно включенные сопротивления одним сопротивлением 6 Ом и снова измерить ток. Показания амперметра и в том и в другом случае будут примерно одинаковыми.

На практике могут встретиться также параллельные соединения, для которых рассчитать эквивалентное сопротивление можно проще, т. е. не определяя предварительно проводимостей, сразу найти сопротивление.

Например, если соединены параллельно два сопротивления R1 и R2 , то формулу 1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 можно преобразовать так: 1/R = (R2 + R1) / R1 R2 и, решая равенство относительно R, получить R = R1 х R2 / ( R1 + R2 ), т. е. при параллельном соединении двух сопротивлений эквивалентное сопротивление цепи равно произведению включенных параллельно сопротивлений, деленному на их сумму.

Телеграмм канал для тех, кто каждый день хочет узнавать новое и интересное: Школа для электрика

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Формула эквивалентного сопротивления для смешанного соединения резисторов

Рассмотрим случай, когда в электрической цепи присутствуют как последовательные, так и параллельные соединения резисторов. Такое соединение называется смешанным.

Для расчета эквивалентного сопротивления смешанного соединения применяется метод последовательных эквивалентных преобразований:

  1. Разбить цепь на отдельные участки, содержащие только последовательные или только параллельные соединения
  2. Для каждого участка найти эквивалентное сопротивление по соответствующей формуле
  3. Заменить найденные группы резисторов их эквивалентными сопротивлениями
  4. Повторять шаги 1-3 до тех пор, пока не останется один эквивалентный резистор

Рассмотрим пример расчета эквивалентного сопротивления для смешанного соединения на рисунке:

Пошагово применим метод эквивалентных преобразований:

  1. Резисторы R2 и R3 соединены последовательно, заменим их эквивалентным R23 = R2 + R3 = 5 + 8 = 13 Ом
  2. Резисторы R5, R6, R7 соединены параллельно, заменим их R567 = 1 / ( 1/R5 + 1/R6 + 1/R7) = 1 / (0,2 + 0,25 + 0,33) ≈ 2 Ом
  3. Оставшиеся резисторы R1, R23, R4, R567 соединены последовательно. Их общее эквивалентное сопротивление: Рэкв = R1 + R23 + R4 + R567 = 10 + 13 + 7 + 2 = 32 Ом

Таким образом, эквивалентное сопротивление всей цепи на рисунке равно 32 Ом.

Измерение эквивалентного сопротивления реальных цепей

Для практических целей, например диагностики неисправностей, часто нужно измерить реальное эквивалентное сопротивление некоторой электрической цепи.

Для этого используют специальные приборы — измерители эквивалентного сопротивления (ESR-метры). Принцип их работы заключается в том, что они пропускают переменный ток заданной частоты через тестируемую цепь и измеряют напряжение на ней. Затем по закону Ома рассчитывают эквивалентное сопротивление.

При выборе ESR-метра обратите внимание на диапазон рабочих частот. Для конденсаторов фильтров питания подходит частота 100 кГц. Для конденсаторов в низкочастотных цепях — 120 Гц. Для радиотехнических цепей используют резонансную частоту конденсатора.

Последовательное соединение резисторов.

Давайте начнем с рассмотрения цепей, элементы которой соединены последовательно. И хоть мы и будем рассматривать только резисторы в качестве элементов цепи в данной статье, но правила, касающиеся напряжений и токов при разных соединениях, будут справедливы и для других элементов. Итак, первая цепь, которую мы будем разбирать выглядит следующим образом:

Здесь у нас классический случай последовательного соединения — два последовательно включенных резистора. Но не будем забегать вперед и рассчитывать общее сопротивление цепи, а для начала рассмотрим все напряжения и токи. Итак, первое правило заключается в том, что протекающие по всем проводникам токи при последовательном соединении равны между собой:

I = I_1 = I_2

А для определения общего напряжения при последовательном соединении, напряжения на отдельных элементах необходимо просуммировать:

U = U_1 + U_2

В то же время, по закону Ома для напряжений, сопротивлений и токов в данной цепи справедливы следующие соотношения:

U_1 = I_1R_1 = IR_1
U_2 = I_2R_2 = IR_2
Тогда для вычисления общего напряжения можно использовать следующее выражение:
U = U_1 + U_2 = IR_2 + IR_2 = I(R_1 + R_2)
Но для общего напряжения также справедлив закон Ома:
U = IR_0
Здесь R_0 — это общее сопротивление цепи, которое исходя из двух формул для общего напряжения равно:
R_0 = R_1 + R_2

Таким образом, при последовательном соединении резисторов общее сопротивление цепи будет равно сумме сопротивлений всех проводников. Например, для следующей цепи:

Общее сопротивление будет равно:
R_0 = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 + R_6 + R_7 + R_8 + R_9 + R_

Количество элементов значения не имеет, правило, по которому мы определяем общее сопротивление, будет работать в любом случае. А если при последовательном соединении все сопротивления равны ( R_1 = R_2 = . = R ), то общее сопротивление цепи составит:

R_0 = nR

В данной формуле n равно количеству элементов. С последовательным соединением резисторов разобрались, логичным образом переходим к параллельному.

Параллельное соединение резисторов.

При параллельном соединении напряжения на проводниках равны:
U_1 = U_2 = U
А для токов справедливо следующее выражение:
I = I_1 + I_2

То есть общий ток разветвляется на две составляющие, а его значение равно сумме всех составляющих. По закону Ома:

I_1 = frac = frac
I_2 = frac = frac
Подставим эти выражения в формулу общего тока:
I = frac + frac = Umedspace (frac + frac)
А по закону Ома:
I = frac
Приравниваем эти выражения и получаем формулу для общего сопротивления цепи:
frac = frac + frac
Данную формулу можно записать и несколько иначе:
R_0 = frac

Таким образом, при параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме величин, обратных сопротивлениям параллельно включенных проводников. Аналогичная ситуация будет наблюдаться и при большем количестве проводников, соединенных параллельно:

frac = frac + frac + frac + frac + frac + frac

Электрический ток при параллельном соединении

Через каждый резистор течет ток, сила которого обратно пропорциональна сопротивлению резистора. Для того чтобы узнать какой ток течет через определенный резистор, можно воспользоваться законом Ома:

Смешанным соединением называют участок цепи, где часть резисторов соединяются между собой последовательно, а часть параллельно. В свою очередь, смешанное соединение бывает последовательного и параллельного типов.

Общее сопротивление Rобщ

Для того чтобы посчитать общее сопротивление смешанного соединения:

  • Цепь разбивают на участки с только пареллельным или только последовательным соединением.
  • Вычисляют общее сопротивление для каждого отдельного участка.
  • Вычисляют общее сопротивление для всей цепи смешанного соединения.

Так это будет выглядеть для схемы 1:

Также существует более быстрый способ расчета общего сопротивления для смешанного соединения. Можно, в соответствии схеме, сразу записывать формулу следующим образом:

  • Если резисторы соединяются последоватеьно — складывать.
  • Если резисторы соединяются параллельно — использовать условное обозначение «||».
  • Подставлять формулу для параллельного соединения где стоит символ «||».

Так это будет выглядеть для схемы 1:

После подстановки формулы параллельного соединения вместо «||»:

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий