Как обозначается логическая операция инверсия

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логиче- ского отрицания. Операция логического отрицания является унарной, так как имеет один аргу- мент. Иначе её называют инверсией, дополнением, НЕ и обозначают Ā или ¬А, NOT A . Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным. Пусть А = «Два умножить на два равно четырём» — истинное высказывание, тогда высказывание F = «Два умножить на два не равно четырём», образованное с помощью операции логического отрицания, — ложно. Образуем высказывание F , являющееся логическим отрицанием А: F = Ā Истинность такого высказывания задаётся таблицей истинности функции логического отрицания (таблица 3). Таблица 3 – Таблица истинности функции логического отрицания (инверсия)

АF= Ā
01
10

10 Истинность высказывания, образованного с помощью операции логического отрицания, можно легко определить с помощью таблицы истинности. Например, высказывание: «Два умножить на два не равно четырём» ложно (А = 0), а полученное из него в результате логического отрицания высказывание «Два умножить на два равно четырём» истинно (F = 1).

4. Логическое следование (импликация)

Операцию логического следования иначе называют импликацией и для обозначения используют символ → «следовательно» и выражается словами ЕСЛИ … , ТО …. Логическое следование: ИМПЛИКАЦИЯ – связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) – следствием из этого условия. Результатом ИМПЛИКАЦИИ является ЛОЖЬ только тогда, когда условие А истинно, а следствие В ложно (таблица 4). Импликацией А→В называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно и В ложно. Таблица 4 – Таблица истинности функции логического следования (импликация)

АВА→В
111
100
011
001

Основные логические операции

  1. Инверсия (отрицание) — это операция, которая преобразует значение истина в значение ложь и наоборот. Обозначается чаще всего символом ¬ или !. Если A — это некоторое логическое выражение, то инверсия этого выражения будет обозначаться как ¬A или !A. Пример:
    • Если A = истина, то ¬A = ложь.
    • Если A = ложь, то ¬A = истина.
    • Конъюнкция (логическое «И») — это операция, которая возвращает значение истина только в том случае, если оба её операнда имеют значение истина. Обозначается символом ∧ или . Таблица истинности конъюнкции:
      • A = истина, B = истина -> A ∧ B = истина.
      • A = истина, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = истина -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») — это операция, которая возвращает значение истина, если хотя бы один из её операндов имеет значение истина. Обозначается символом ∨ или ||. Таблица истинности дизъюнкции:
        • A = истина, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = истина, B = ложь -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = ложь -> A ∨ B = ложь.

        Конъюнкция, Дизъюнкция, Инверсия, Отрицание, Импликация, Следование. Таблица истинности


        Открыть диалоговое окно с формой по клику

        Влияние на работу компьютера

        Логические операции составляют основу работы вычислительных систем. На физическом уровне компьютеры основаны на транзисторах, которые могут находиться в одном из двух состояний: открытое (проводящее) или закрытое (непроводящее). Эти состояния соответствуют логическим значениям истина и ложь.

        Комбинации транзисторов могут выполнять базовые логические операции, такие как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Таким образом, при помощи логических операций компьютеры могут выполнять сложные алгоритмы, принимать решения и обрабатывать информацию.

        В программировании логические выражения используются для создания условных конструкций, циклов и других элементов управления потоком выполнения программы.

        Понимание логических операций и их свойств критически важно для изучения информатики. Они являются основой для разработки алгоритмов, программирования и, в конечном итоге, для всего, что делает компьютер таким мощным инструментом.

        Основы логики

        Математическая логика (она же булева алгебра) является неотъемлемым блоком знаний как в школьном курсе информатики, так и в ЕГЭ.

        Цель логики как науки – определить, истинно или ложно некоторое высказывание, а также прослеживать связь между высказываниями относительно друг друга. Высказывания обозначаются логическими переменными, которые могут принимать лишь два значения:

        Истина = 1, Ложь = 0

        Логические выражения (которые состоят из более чем одного высказывания) на естественном языке образуются с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ». В математической логике аналогом этих связок являются базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и инверсия. Чтобы определить значение составного логического выражения, надо знать значения входящих в него логических переменных (высказываний). Чтобы рассмотреть все возможные случаи, в булевой алгебре есть специальный аппарат — таблица истинности. Таблица истинности строится следующим образом: в столбцах записываются логические переменные и само выражение, а в строках — всевозможные комбинации переменных и соответствующий для них результат выражения. Для выражения, содержащего n переменных, количество комбинаций для них будет равно 2 n . Подробнее про таблицы истинности написано ниже.

        Логическое умножение. Конъюнкция

        Конъюнкция (логическое умножение, логическое «И») обозначает объединение двух или нескольких высказываний в одно таким образом, что результат будет истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания.

        Импликация или логическое следование

        Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).

        Обозначения: $to$, $Rightarrow$.

        Таблица истинности для импликации

        1. $A to B = ¬A vee B$.
        2. Импликация $A to B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
        3. Если $A=0$, то импликация $A to B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).

        Эквивалентность или логическая равнозначность

        Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

        Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

        Таблица истинности для эквивалентности

        1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
        2. КНФ $A equiv B = (bar vee B) cdot (A cdot bar)$
        3. ДНФ $A equiv B = bar cdot bar vee A cdot B$

        Порядок обработки

        При изучении формулы логики заданных высказываний стоит запомнить порядок (приоритет) обработки операций в сложном выражении. Выполняются манипуляции так:

        • инверсия (логическое отрицание);
        • конъюнкция (логическое умножение);
        • дизъюнкция (логическое сложение);
        • импликация;
        • эквивалентность.

        Для того, чтобы изменить прописанный порядок выполнения обработки данных, необходимо в логических выражениях использовать скобки.

        Таблицы и операции

        Построить таблицу истинности можно без онлайн калькуляторов. Для этого достаточно запомнить, как работает каждая из перечисленных выше операций. У математиков с этим проблем не возникает – они хорошо заучивают предложенную далее информацию.

        Конъюнкция

        Носит название «логическое И» или «умножение». Часто встречается в программировании. В языках «создания контента» обладает особым обозначением. Примеры записи:

        Выражение логического характера при конъюнкции является истиной, только когда оба простых высказывания тоже выступают в качестве правды. Если хотя бы одно из них – ложь, то вся операция примет значение False.

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        Выше представлена таблица истинности при операции конъюнкции.

        Дизъюнкция

        Является сложением. У этого логического выражения есть иное название – «логическое ИЛИ». Тоже встречается в программировании довольно часто.

        Может иметь такие формы записи:

        Преобразование последовательности будет осуществляться по принципу: выражение – истина, если хотя бы одно из его составляющих – правда. Ложно, когда оба элемента имеют значение FALSE.

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        Выше – примеры таблицы истинности, которая работает в отношении дизъюнкции.

        Инверсия

        Следующий момент, на который стоит обратить внимание – это инверсия. Носит название «отрицание» или «логическое НЕ».

        Обозначения в программировании:

        Логическое выражение при отрицании обладает следующими особенностями:

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        1. Когда исходные данные истины, то результатом станет ложь.
        2. Если операция обладает значением «ложь», ее отрицание получит «истину».
        3. Можно рассматривать соответствующую манипуляцию как трактовку «Неверно, что…»

        Вот такую таблицу истинности можно построить относительно инверсии.

        Импликация

        При любом логическом выводе стоит опираться на предлагаемые примеры и таблицы. Импликация – это следование.

        В любом заданном логическом выражении результат – это истина всегда. Исключение – когда из правды следует ложь. Она связывает два высказывания (a и b), где:

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        • A – это условие, первое выражение;
        • B – следствие.

        Если из A может следовать B, значит операция выдаст в результате обработки «истину».

        Эквивалентность

        Так называют равнозначность. Новое высказывание истинно тогда, когда оба простых выражения – это правда.

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        Выше – пример расчетов формулы логики заданных высказываний при эквивалентности.

        Исключение

        Онлайн калькуляторы могут помочь построить график или указать, что верно, а что нет, без вдумчивости в поставленную задачу со стороны пользователя. Но программистам приходится прописывать принципы функционирования и выполняемые операции вручную. Для них особенности алгебры логики и информатики крайне важны.

        Порядок выполнения логических операций ранее был рассмотрен. Осталось понять, как работает исключение.

        Согласно установленным правилам, операция будет истиной, когда среди значений переменных A и B есть одно правдивое. Если оба – это действительность, упомянутый принцип работать не будет.

        Калькулятор истинности: все о логике для программиста

        Исключающее ИЛИ – преобразование, которое носит название «сложение по модулю два».

        Как обозначается логическая операция инверсия

        Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.

        Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В – высказывание “Тимур летом отправиться в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” – логическая связка, А.В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – “истина” или “ложь”.

        Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

        1. Логическое отрицание (инверсия)

        Операция, выражаемая символом “не” называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием.

        Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы “не” к сказуемому или использования оборота речи “неверно, что”.

        Обозначение: не А. (Более подробно об обозначениях логических операций смотрите в хранилище файлов)

        Нас интересует истинность высказывания, имеющего форму не А. Определяется она по специальной таблице истинности.

        Из таблицы истинности следует, что инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

        2. Логическое умножение (конъюнкция)

        Операция, выражаемая связкой “и” называется конъюнкцией или логическим умножением.

        Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза “и”.

        А = Закончились уроки.

        В = Дети идут домой.

        А * В = “Закончились уроки и дети идут домой”.

        Обозначение конъюнкции: A и B, А*В.

        Таблица истинности.

        Из таблицы истинности следует, что конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

        3. Логическое сложение (дизъюнкция)

        Операция, выражаемая связкой “или” называется дизъюнкцией или логическим сложением.

        Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза “или”.

        Высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” — ложно, а высказывания

        “10 делится на 2 или 5 больше 3”,

        “10 делится на 2 или 5 не больше 3”

        “10 не делится на 2 или 5 больше 3” — истинны.

        Обозначение операции: А или В, A+B.

        Таблица истинности.

        Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

        4. Логическое следование (импликация)

        Операция, выражаемая связками “если … то”, “из … следует”, “… влечет”, называется импликацией и обозначается знаком «стрелка».

        Каким образом импликация связывает два элементарных высказывания?

        Пусть даны два высказывания:

        А = “данный четырехугольник квадрат”.

        В = “около данного четырехугольника можно описать окружность”.

        Рассмотрим составное высказывание, которое понимается как “если данный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность”.

        Есть три варианта, когда импликация истинна:

        · А истинно и В истинно, то есть данный четырехугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

        · А ложно и В ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника);

        · А ложно и В ложно, то есть данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

        Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

        Таблица истинности:

        Из таблицы истинности следует, что импликация высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу).

        5. Логическое равенство (эквивалентность)

        Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, “необходимо и достаточно”, “…равносильно…”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком «двухстороняя стрелка».

        “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”,

        “23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3”

        истинны, а высказывания

        “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”,

        “21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3”

        Высказывания А и В, образующие составное высказывание эквивалентность могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” (не А), “пингвины не живут в Антарктиде” (не В). Образованные из высказываний А, В составные высказывания А º В и не А º не В истинны, а высказывания А º не В и не А º В — ложны.

        Таблица истинности:

        Итак, нами рассмотрены пять логических операций:

        Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание:

        если А то В = не А + В

        Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

        А равносильно В = (не А + В) * (не В + А)

        Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

        Еще возникает необходимость говорить о приоритете выполнения логических операций. Они выполняются в следующем порядке:

        · отрицание

        · конъюнкция

        · дизъюнкция

        · импликация

        · эквиваленция.

        Порядок выполнения логических операций можно изменить, применив круглые скобки.

        Выполните задания:

        1. Определите, какие из высказываний в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

        в) «мишень поражена первым выстрелом», «мишень поражена вторым выстрелом»;

        г) «машина останавливалась у каждого из двух светофоров», «машина не останавливалась у каждого из двух светофоров»,

        д) «человечеству известны все планеты Солнечной системы», «в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству»;

        е) «существуют белые слоны», «все слоны серые»;

        ж) «кит — млекопитающее», «кит — рыба»;

        з) «неверно, что точка А не лежит на прямой а», «точка А лежит на прямой а»;

        и) «прямая а параллельна прямой b», «прямая a перпендикулярна прямой b»;

        к) «этот треугольник равнобедренный и прямоугольный», «этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный».

        2. Определите значения истинности высказываний:

        а) «наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт»;

        б) «наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт»;

        в) «если целое число делится на 6, то оно делится на 3»;

        г) «подобие треугольников является необходимым условием их равенства»;

        д) «подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства»;

        е) «треугольники подобны только в случае их равенства»;

        ж) «треугольники равны только в случае их подобия»;

        з) «равенство треугольников является достаточным условием их подобия»;

        и) «для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны»;

        к) «для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны».

        3. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

        а) если (а или (b и с)), то d;

        б) если (не а и не b), то (с или d);

        в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

        4. Формализуйте следующий вывод: «Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны».

        5. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: «Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги».

        Формализуйте также ответ сына: «Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди».

        ИМПЛИКАЦИЯ

        ✑ Сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (A), а второе (A) является следствием условия (A). .
        ⚑ Импликацию также называют логическим следованием.

        Для записи импликации используют следующие знаки: →, ⇒.
        Свойства импликации: A → B = ¬ A ∨ B.
        Импликация A→B ложна, если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A→B истинна при любом значении B, (из лжи может следовать истинна).

        ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

        ✑ сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных A и B .
        ⚑ Эквивалентность также называют логической равнозначностью.

        Для записи эквивалентности используют следующие знаки: ↔, ⇔.
        Свойства эквивалентности:

        1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных A и B.
        2. КНФ
        3. ДНФ
        Оцените статью
        TutShema
        Добавить комментарий