Как обозначается инверсия в информатике

В данной публикации мы рассмотрим 5 логических операций: приведем их определения, способы записи (если он есть), а также соответствующие им таблицы истинности.

Содержание скрыть

  • Основные термины
  • Логические операции и таблицы истинности
  • Умножение (конъюнкция)
  • Сложение (дизъюкция)
  • Отрицание (инверсия)
  • Следование (импликация)
  • Равнозначность (эквивалентность)

Основные термины

Высказывание – предложение, которое выражает некоторое суждение, по которому определяется, истинно оно (обозначается цифрой “1”) или ложно (пишется как “0”).

Логическое выражение – устное или письменное утверждение, в котором присутствуют как постоянные величины, так и переменны. В зависимости от принимаемых переменными значений, логическое выражение может быть либо истинным (1), либо ложным (0).

Сложное логическое выражение – это составное выражение, которое включает одно или несколько простых и/или сложных логических выражений, связанных между собой логическими операциями.

Основные логические операции

  1. Инверсия (отрицание) — это операция, которая преобразует значение истина в значение ложь и наоборот. Обозначается чаще всего символом ¬ или !. Если A — это некоторое логическое выражение, то инверсия этого выражения будет обозначаться как ¬A или !A. Пример:
    • Если A = истина, то ¬A = ложь.
    • Если A = ложь, то ¬A = истина.
    • Конъюнкция (логическое «И») — это операция, которая возвращает значение истина только в том случае, если оба её операнда имеют значение истина. Обозначается символом ∧ или . Таблица истинности конъюнкции:
      • A = истина, B = истина -> A ∧ B = истина.
      • A = истина, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = истина -> A ∧ B = ложь.
      • A = ложь, B = ложь -> A ∧ B = ложь.
      • Дизъюнкция (логическое «ИЛИ») — это операция, которая возвращает значение истина, если хотя бы один из её операндов имеет значение истина. Обозначается символом ∨ или ||. Таблица истинности дизъюнкции:
        • A = истина, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = истина, B = ложь -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = истина -> A ∨ B = истина.
        • A = ложь, B = ложь -> A ∨ B = ложь.

        Открыть диалоговое окно с формой по клику

        Влияние на работу компьютера

        Логические операции составляют основу работы вычислительных систем. На физическом уровне компьютеры основаны на транзисторах, которые могут находиться в одном из двух состояний: открытое (проводящее) или закрытое (непроводящее). Эти состояния соответствуют логическим значениям истина и ложь.

        Информатика. Алгебра логики: Таблицы истинности. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»

        Комбинации транзисторов могут выполнять базовые логические операции, такие как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Таким образом, при помощи логических операций компьютеры могут выполнять сложные алгоритмы, принимать решения и обрабатывать информацию.

        В программировании логические выражения используются для создания условных конструкций, циклов и других элементов управления потоком выполнения программы.

        Понимание логических операций и их свойств критически важно для изучения информатики. Они являются основой для разработки алгоритмов, программирования и, в конечном итоге, для всего, что делает компьютер таким мощным инструментом.

        Виды выражений

        С помощью логических операций можно строить теории, а также решать сложные задачи, результатом которых окажется справедливый итог. Стоит помнить о том, что прослеживать имеющиеся связи для анализа необходимо крайне внимательно. А еще – учитывать заданные условия, которые относятся к поставленной задаче.

        Логические выражения могут быть:

        В первом случае результатом обработки заданной операции выступать только «истина» или «ложь». Во втором – или итогом становятся или только истинные операции, или исключительно ложные.

        Процедуры получения сложного выражения из нескольких простых имеют определенное название. А именно – формулы логического характера.

        Основные операции

        Математика, информатика, программирование и другие науки немыслимы без анализа, а также построения теорий по заданным вопросам. Здесь без мышления логического характера не обойтись. Соответствующий момент активно применяется в приложениях — не только сложных, но и элементарных.

        Чтобы понять, как работает логи ческая цепочка в калькуляторах истинности, стоит запомнить ключевые операции над логическими выражениями. Всего их несколько:

        • конверсия;
        • дизъюнкция;
        • конъюнкция;
        • строгая дизъюнкция;
        • импликация;
        • эквивалентность.

        В программировании также стоит обратить внимание на запись исключающего или. Это – операция XOR.

        Импликация или логическое следование

        Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).

        Обозначения: $to$, $Rightarrow$.

        Таблица истинности для импликации

        1. $A to B = ¬A vee B$.
        2. Импликация $A to B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
        3. Если $A=0$, то импликация $A to B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).

        Эквивалентность или логическая равнозначность

        Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

        Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

        Таблица истинности для эквивалентности

        1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
        2. КНФ $A equiv B = (bar vee B) cdot (A cdot bar)$
        3. ДНФ $A equiv B = bar cdot bar vee A cdot B$

        Практикуемся выполнять задание №2 ЕГЭ

        Теперь можно переходить к изучению тонкостей и особенностей решения задания №2 по информатике.

        На это задание по рекомендации ФИПИ требуется 3 минуты. Чтобы успешно справиться с ним, необходимо уметь строить таблицы истинности и логические схемы.

        Строим таблицы истинности и логические схемы

        Таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных. Если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных).

        Количество разных логических функций, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где k — число отсутствующих строк.

        Например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 2 3 = 8 строчек; если заданы только 6 из них, то можно найти 2 8−6 = 2 2 = 4 разные логические функции, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся).

        Очень хорошей помощью в решении этого задания будет полная таблица истинности данного в условии логического выражения.

        Полную таблицу истинности легче всего составить в табличном редакторе (Excel) или с использованием языка программирования (Python).

        После получения полной таблицы истинности остается провести анализ на соответствие строк данной в условии части таблицы строкам составленной. При анализе строк особое внимание следует обратить на значение выражения в таблице истинности.

        Если выражение равно 0, то нужно постараться привести данное в условие выражение к виду A + B + C + … . Логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно).

        Если выражение равно 1, то приводите выражение к виду A · B · C · … . Логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно).

        И еще два факта, которые пригодятся при анализе: логическое следование (импликация) А → В равно 0 тогда и только тогда, когда A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно; эквивалентность А º B равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1.

        Используем 3 способа решения задания

        Способы решения задания:

        • ручной;
        • с помощью электронных таблиц;
        • с помощью языка программирования (Python).

        Ручной способ решения

        При ручном способе решения особенно важно сначала упростить выражение, данное в условии задачи, то есть привести логическое выражение к такому виду, который будет удобнее анализировать.

        Например, если в условии представлена часть таблицы истинности, в которой значение выражения равно 1 — то можно постараться привести логическое выражение к нормальной дизъюнктивной форме (ДНФ — произведение нескольких литералов). Тогда выражение будет истинным, только если каждый литерал (сомножитель) будет истинен.

        Если же в таблице истинности логическое выражение равно 0 — приводим выражение к нормальной конъюнктивной форме (КНФ — сумма нескольких литералов). В этом случае выражение будет ложным, только если каждый литерал (слагаемое) ложен.

        После преобразования логического выражения производится анализ данной в условии таблицы истинности (или ее фрагмента) и для каждого столбца находится его значение (x, y и т. д.)

        Решение с помощью электронных таблиц

        При использовании электронных таблиц самым сложным является ввод в ячейку таблицы выражения, данного в условии в нотации, соответствующей программе. Чаще всего в качестве программ электронных таблиц используются электронные таблицы пакетов Libre Office, Open Office или Microsoft Office (Excel). Последняя — наиболее распространенная, поэтому здесь будем говорить про нее.

        Шаг 1. Сначала количество столбцов в электронной таблице равно количеству переменных логического выражения. Каждый столбец обозначается по именам переменных логического выражения.

        Шаг 2. Затем добавляется количество строк электронной таблицы, равное , где k — количество переменных логического уравнения.

        Шаг 3. После этого создается еще один столбец электронной таблицы, в первой строке которого (не заголовка) записывается формула, соответствующая логическому выражению. Растянув эту формулу при помощи маркера автозаполнения на все строки таблицы, получаем полную таблицу истинности выражения.

        Таблица функций электронной таблицы Excel и их соответствия логическим операциям:

        Логическая операцияСтрока Excel
        Инверсия=ЕСЛИ(A2=1;0;1)
        Дизъюнкция=ЕСЛИ(ИЛИ(A2=1;B2=1);1;0)
        Конъюнкция=ЕСЛИ(И(A2=1;B2=1);1;0)
        Импликация=ЕСЛИ(И(A2=1;B2=0);0;1)
        Эквивалентность=ЕСЛИ(A2=B2;1;0)

        Решение с помощью языка программирования (Python)

        При использовании программы на языке Python можно описать функцию, например так:

        def f(arg):
        x, y, z, w = arg
        return (здесь записывается логическое выражение),

        а затем, используя полный переборный алгоритм, перебрать значения 0 и 1 для каждой переменной во вложенных циклах и провести проверку истинности выражения:

        print (‘x y w z’) # заголовок таблицы (в алфавитном порядке)
        k = 0, 1 # k — кортеж констант (0 — False, 1 — True)
        for x in k:
        for y in k:
        for w in k:
        for z in k:
        if f(x, y, w, z) == 1:
        print(x, y, w, z) # если F = 1

        Или просто вывести таблицу истинности print(x, y, w, z), не используя условный оператор во внутреннем цикле.

        Полученную таблицу истинности остается проанализировать вручную и записать единственно верный ответ.

        Для того чтобы записать логическое выражение на Python, воспользуйтесь следующей таблицей:

        ОбозначениеНазваниеОператор в Python
        конъюнкцияand

        В Python логическое значение True воспринимается как 1, а False — как 0, благодаря этому можно использовать обычное умножение *

        дизъюнкцияor

        В Python логическое значение True воспринимается как 1, а False — как 0, благодаря этому можно использовать обычное сложение +

        ¬отрицаниеnot()
        тождество==
        строгая дизъюнкция!=
        импликацияnot(a) or b или
        not a or b или
        a

        Желаем вашим ученикам высоких баллов по ЕГЭ!

        Что такое логические элементы

        Логические элементы представляют собой устройства, которые могут быть реализованы на электронной полупроводниковой базе. Они выполняют некоторую логическую функцию преобразования входного сигнала. На нескольких простых логических элементах можно построить сколь угодно много сложных устройств, например регистров, сумматоров, счетчиков импульсов.

        Для описания работы различных электронных устройств удобно использовать элементы алгебры логики, которая, как известно, работает с переменными, принимающими только два значения 1 и 0, то есть включено или выключено.

        Определение количества логических элементов, которые можно построить на базе двоичной логики, выполняется по формуле 2 4 , то есть составляет 16.

        Элементарные логические элементы

        Основными логическими элементами являются И, ИЛИ, НЕ. Все остальные элементы строятся на базе них.

        Инверсия (НЕ)

        Инверсия представляет собой унарную операцию, то есть элемент с одним входом. Логический элемент НЕ реализует логическое отрицание. Если на вход этого элемента подается сигнал 1, то на выходе будет получено 0.

        Таблица истинности для данного элемента имеет вид:

        Конъюнкция (И)

        Логический элемент И является бинарным и выполняет логическое умножение. Результат конъюнкции равен 1 только в том случае, когда на входы данного элемента подаются две единицы. Во всех остальных случаях результат конъюнкции равен нулю.

        Таблица истинности для конъюнкции

        Дизъюнкция (ИЛИ)

        Бинарный логический элемент ИЛИ реализует операцию логического сложения. Результат этой операции равен нулю в том случае, когда на входы дизъюнкции подаются нули. В остальных случаях результат всегда равен единице.

        Таблица истинности для логического ИЛИ

        Штрих Шеффера

        Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.

        Обозначения: $|$, эквивалентно операции И-НЕ.

        Таблицей истинности для функции штрих Шеффера

        Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,

        $X mid X = ¬X$ — отрицание

        $(X mid Y) mid (X mid Y) = (X wedge Y)$ — конъюнкция

        $(X mid X) mid (Y mid Y) = X vee Y$ — дизъюнкция

        Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

        Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

        1. Инверсия(отрицание);
        2. Конъюнкция (логическое умножение);
        3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
        4. Импликация (следствие);
        5. Эквивалентность (тождество).

        Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

        Оцените статью
        TutShema
        Добавить комментарий