Инверсия конъюнкция дизъюнкция это

Операций конъюнкция, дизъюнкция и инверсия достаточно для того, чтобы с их помощью можно было записать любую произвольную логическую операцию. Поэтому эти операции называют базовыми, основными.

В алгебре логики логическая операция полностью задается таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает сложное высказывание при всех возможных значениях простых высказываний, входящих в сложное высказывание.

Введем формальным образом логические операции, соответствующие логическим связкам.

Конъюнкция

Высказывание, составленное из двух высказываний путем объединения их связкой «и» называется конъюнкцией.

Например, пусть есть два высказывания: А – «Число 22 четное», В – «Число 22 двузначное», тогда высказывание А и В (формально, F = А ∧ В): «Число 22 четное и двузначное».

Определение. Логическая операция, ставящая в соответствие двум высказываниям новое, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны, называется конъюнкцией.

Логическая операция конъюнкция задается следующей таблицей истинности:

ABF = A ∧ B
000
010
100
111

Логические операции и таблицы истинности

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A
2. Конъюнкция;
3. Дизъюнкция;
4. Импликация;
5. Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Влияние на работу компьютера

Логические операции составляют основу работы вычислительных систем. На физическом уровне компьютеры основаны на транзисторах, которые могут находиться в одном из двух состояний: открытое (проводящее) или закрытое (непроводящее). Эти состояния соответствуют логическим значениям истина и ложь.

Комбинации транзисторов могут выполнять базовые логические операции, такие как инверсия, конъюнкция и дизъюнкция. Таким образом, при помощи логических операций компьютеры могут выполнять сложные алгоритмы, принимать решения и обрабатывать информацию.

В программировании логические выражения используются для создания условных конструкций, циклов и других элементов управления потоком выполнения программы.

Понимание логических операций и их свойств критически важно для изучения информатики. Они являются основой для разработки алгоритмов, программирования и, в конечном итоге, для всего, что делает компьютер таким мощным инструментом.

Инверсия, конъюнкция и дизъюнкция | Информатика

Основные операции

Математика, информатика, программирование и другие науки немыслимы без анализа, а также построения теорий по заданным вопросам. Здесь без мышления логического характера не обойтись. Соответствующий момент активно применяется в приложениях — не только сложных, но и элементарных.

Чтобы понять, как работает логи ческая цепочка в калькуляторах истинности, стоит запомнить ключевые операции над логическими выражениями. Всего их несколько:

  • конверсия;
  • дизъюнкция;
  • конъюнкция;
  • строгая дизъюнкция;
  • импликация;
  • эквивалентность.

В программировании также стоит обратить внимание на запись исключающего или. Это – операция XOR.

Порядок обработки

При изучении формулы логики заданных высказываний стоит запомнить порядок (приоритет) обработки операций в сложном выражении. Выполняются манипуляции так:

  • инверсия (логическое отрицание);
  • конъюнкция (логическое умножение);
  • дизъюнкция (логическое сложение);
  • импликация;
  • эквивалентность.

Для того, чтобы изменить прописанный порядок выполнения обработки данных, необходимо в логических выражениях использовать скобки.

Эквивалентность или логическая равнозначность

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

Таблица истинности для эквивалентности

  1. Эквивалентность истинна на равных наборах значений переменных $A$ и $B$.
  2. КНФ $A equiv B = (bar vee B) cdot (A cdot bar)$
  3. ДНФ $A equiv B = bar cdot bar vee A cdot B$

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Обозначения: $A oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A wedge B$ (в языках программирования).

Таблица истинности для операции сложения по модулю два

Свойства строгой дизъюнкции:

  • $a oplus 0 = a$(идемпотентность)
  • $a oplus 1 = bar$(отрицание)
  • $a oplus a = 0$(получение 0)
  • $a oplus b = b oplus a$(коммутативность)
  • $(a oplus b) oplus c = a oplus (b oplus c)$(ассоциативность)
  • $(a oplus b) oplus b = a$(поглощение)
  • $bar oplus b = a oplus bar = (a equiv b)$(сравнения по модулю)

Основы логики

Математическая логика (она же булева алгебра) является неотъемлемым блоком знаний как в школьном курсе информатики, так и в ЕГЭ.

Цель логики как науки – определить, истинно или ложно некоторое высказывание, а также прослеживать связь между высказываниями относительно друг друга. Высказывания обозначаются логическими переменными, которые могут принимать лишь два значения:

Истина = 1, Ложь = 0

Логические выражения (которые состоят из более чем одного высказывания) на естественном языке образуются с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ». В математической логике аналогом этих связок являются базовые логические операции — конъюнкция, дизъюнкция и инверсия. Чтобы определить значение составного логического выражения, надо знать значения входящих в него логических переменных (высказываний). Чтобы рассмотреть все возможные случаи, в булевой алгебре есть специальный аппарат — таблица истинности. Таблица истинности строится следующим образом: в столбцах записываются логические переменные и само выражение, а в строках — всевозможные комбинации переменных и соответствующий для них результат выражения. Для выражения, содержащего n переменных, количество комбинаций для них будет равно 2 n . Подробнее про таблицы истинности написано ниже.

Логическое умножение. Конъюнкция

Конъюнкция (логическое умножение, логическое «И») обозначает объединение двух или нескольких высказываний в одно таким образом, что результат будет истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него высказывания.

Алгебра высказываний

Логическая переменная – это простое высказывание.
Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

Пример высказываний:

Алгебра высказываний

Логическая функция – это сложное высказывание, которое получается в результате проведения логических операций над простыми высказываниями.

Алгебра высказываний

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».
Например,

Многие люди не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Основные (базовые) логические операции:

Алгебра высказываний

1. Логическое умножение (конъюнкция), от лат. konjunctio – связываю:
• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;
• в языках программирования — And.
• Принятые обозначения: / , •, и, and.
• В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания истинны.

Пример:
Рассмотрим составное высказывание «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:
А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)
В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)
Поэтому, логическая функция F(A, B) = A / B = 1 / 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

Алгебра высказываний

2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio – различаю:
• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;
• в языках программирования — Or.
• Обозначение: /, +, или, or.
• В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий