Что такое добротность контура

Эффект резонанса находит своё применение в решении различных технических задач. Одной из таких задач была симуляция резонанса вибростенда электрическим колебательным контуром. Подбор элементов для колебательного контура осуществляется с целью добиться резонанса на заданной частоте с заданной добротностью. Резонансная частота и добротность определяются по нижеприведённым формулам. Для подтверждения расчетной частоты резонанса или добротности требуются практические методы с использованием измерительных приборов. Преимущество виртуальной лаборатории ZETLab в том, что она содержит в себе широкий спектр программ для различных измерений, которые можно использовать для проверки теоретических расчетов.

Принципиальная схема последовательного колебательного контура

Параметры схемы, приведённой на рисунке 1, вычисляются по следующим формулам:

Резонансная частота электрического колебательного контура

Добротность электрического колебательного контура

Примечание: в формулы для расчета подставляются не паспортные данные элементов (по которым их возможно выбирали), а реальные, которые были измерены с помощью соответствующих измерительных приборов.

Теоретический расчет

R=16 Ом,
L=18 мГн,
C=1,75 мкФ

Программа «Измерение АЧХ (8 каналов)»

График АЧХ электрического резонансного контура

Измерение добротности по графику АЧХ

По графику АЧХ колебательного контура определяем частоту резонанса курсорными измерениями: f0 = 847 Гц.

Добротность электрического колебательного контура обратно пропорциональна разности относительных частот, соответствующих значениям относительного напряжения 1/√2 (относительно резонансной частоты и резонансного напряжения):

Кроме того добротность может быть вычислена как отношение напряжения в пике резонанса к входному напряжению.

На частоте менее 10% от резонансной частоты напряжение на конденсаторе будет составлять более 99% от входного напряжения. Соответственно ошибка, которую внесёт метод вычисления добротности, составит менее 1%.

Программа «Измерение АЧХ-ФЧХ (4 канала)»

Как известно из радиотехники, полосу пропускания колебательного контура можно найти из частотных характеристик, отмечая граничные частоты, по уровню 1/v2 от максимума модуля амплитудной характеристики для последовательного колебательного контура или максимума сопротивления для параллельного контура. Можно также измерить полосу пропускания резонатора по фазово-частотной характеристике электрического импеданса как разность между частотами, соответствующими сдвигу фаз ±45° от фазы в точке резонанса. Отношение резонансной частоты к ширине полосы пропускания есть добротность колебательной системы.

Гафики измеренных АЧХ и ФЧХ

Измерение добротности по АЧХ

Измерение добротности по ФЧХ

Добротность контура: что это такое и как рассчитать?

Модальный анализ

Измерение резонанса с помощью программы «Модальный анализ»

Затухающие колебания на выходе электрического колебательного контура

Если на вход системы подать дельта-импульс, то на выходе будет импульсная характеристика системы. Дельта-импульс эмулируется радио-импульсом высокой частоты с 0 периодов (полуволна).

Характеристики колебательного контура:

τ — время релаксации колебаний — время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз.
λ — логарифмический декремент затухания — логарифм отношения двух последовательных амплитуд колебаний.
Q — добротность контура — отношение энергии запасённой в контуре к убыли энергии за один период колебаний умноженное на 2π.

Взаимный узкополосный спектр, передаточная функция H1

Вычисления по взаимному узкополосному спектру:

Вычисления по переходной характеристике:

Взаимный узкополосный спектр генератора и измерительного канала

Корреляционная функция (белый шум и радиоимпульс)

Корреляционная функция сигнала генератора и выхода колебательного контура

Узкополосный спектр

Применяя те же самые формулы, что и для АЧХ находим характеристики системы:

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Проведение виброиспытаний на системе с резонансом

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Узкополосный спектр широкополосного шума с усреднением за 600 секунд

Результаты, полученные в ходе испытаний:

5. Добротность. Влияние добротности на резонансные кривые последовательного контура r ,l, с

Любой резонансный контур, в том числе и последовательный принято характеризовать добротностью Q и характеристическим сопротивлением .

Напомним, что в данном случае будем рассматривать определение добротности контура при изменении частоты источника питания.

При резонансе .

Добротность контура определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного или емкостного элемента сопротивления при резонансе над напряжением всей цепи U = UR.

В электротехнических и радиотехнических установках добротности могут быть любого порядка, вплоть до десятков тысяч. При больших добротностях (50–500) UL0 >> UR, UR = UВХ = U, т. е. напряжение на индуктивности (или на емкости) во много раз больше приложенного напряжения.

Выясним влияние добротности на резонансные кривые при последовательном соединении

R, L, С. Ток в цепи равен

Относительное значение тока: , т.е..

Пои выводе этой формулы учитывалось, что .

Иногда вводят понятие относительной частоты .

Тогда предыдущая формула запишется так

Построим резонансные кривые в относительных (по току) единицах (рис. 7.8) для трех добротностей. Рассматривая три резонансные кривые, видим, что чем больше добротность, тем острее получается резонансная кривая. Полоса пропускания контура определяется разностью частот, которые получатся при пересечении резонансной кривой горизонтальной линией на уровне .

Из рис. 7.8 видно, что чем меньше добротность, тем шире полоса пропускания. В радиоприемниках колебательные контуры имеют большие добротности (500–1000), поэтому эти контуры обладают достаточно узкими полосами пропускания, что способствует избирательному радиоприему только одной станции.

6. Определение добротности по резонансной кривой

На практике резонансные частотные характеристики реальных контуров можно получать, изменяя частоту генератора в определенных пределах и снимая показания вольтаметра, подключенного параллельно резистору (см. рис. 7.9 а). Строят экспериментальную резонансную кривую и по этой кривой определяют полосу пропускания. Выведем соответствующую формулу для расчета добротности по резонансной кривой, снятой экспериментально.

Из рис. 7.9 б следует:

.

В этом равенстве знаменатели равны, поэтому

Отсюда .

Запишем дважды: при итакие выражения;.

После сложения последних выражений получим

или

Отсюда

И далее .

Очень важно: добротность обратно пропорциональна .

Для последовательного контура R, L, С построена резонансная кривая тока при изменении

емкости С (рис. 7.10).

Пользуясь этой кривой, определим добротность контура. Выражение для тока

Выполним ряд преобразований последней формулы

;

.

Проведем горизонтальную прямую на уровне .

Отметим значения емкости C1 и С2.

Далее сделаем ряд очевидных выкладок. Выразим добротность Q через значения

емкости С1 и С2. Запишем

Найдем сумму и разность емкостей

Запишем отношение .

Напомним, что добротность контура определяется превышением напряжения на индуктивном (или емкостном) сопротивлении при резонансе над напряжением всей цепи (или напряжением на активном сопротивлении), т. е.

Таким образом,

Кроме этого результата, представляется возможным получить значения параметров катушки индуктивности (L и R)

.

Откуда ;.

Откуда .

Величина емкости С0, при которой наступает резонанс, определится так:

; ;;.

Откуда .

Резонанс напряжений может наблюдаться в схеме, показанной на рис. 7.11.

Входное сопротивление такой схемы

При резонансе реактивная составляющая входного сопротивления должна быть равна нулю, т. е.

Параллельный контур

Добротность любого параллельного колебательного контура предполагает наличие цепи, в которой имеется емкость, нагрузка и индуктивность, соединенные параллельно. Они образуют так называемую RLC-схему.

Схема параллельного контура

Определяющая величина для такой схемы — это проводимость конденсатора с катушкой. Именно она суммируется при расчетах и является реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. На резонансной частоте проводимость катушки с конденсатором будут равны, а общая разница при этом равняется 0. Для расчета такой цепи используется формула:

Формула добротности параллельного контура

При этом стоит учитывать следующее:

  1. Не принимается во внимание емкостная паразитная характеристика катушки индуктивности, но учитывается добротность индуктивного элемента. Она соответствует выражению:Формула добротности индуктивного элемента
  2. Также учитывается добротность конденсатора, использующегося в такой электроцепи. Потери в конденсаторе связаны с наличием диэлектрика в его конструкции. Добротность конденсатора вместе с имеющимися потерями, напрямую связаны с потерями энергии на его диэлектрике tgδ. Данный коэффициент определяем с помощью такого выражения:Формула для определения коэффициента потерь на диэлектрике
  3. На резонансной частоте к переменному току прилагается бесконечное сопротивление.
  4. В реальной RLC-цепи отсутствует бесконечное сопротивление, но этот параметр при увеличении сопротивления контура значительно снижается.

В параллельном колебательном контуре резонансная частота является той частотой, при которой реактивное сопротивление равняется 0, а величина входящего сопротивления является активным. Отсюда можно сделать вывод, что отсутствует фазовый сдвиг между током и напряжением.

Последовательный контур

Для последовательного колебательного контура характерно наличие последовательного соединения емкости с индуктивностью. При этом эти два элемента не влияют на потери энергии в цепи и являются идеальными элементами.

Схема последовательного контура

Потери в данной схеме вызваны только наличием активной нагрузки. Ниже представлен график амплитудно-частотной характеристики такой схемы.

График амплитудно частотной характеристики последовательного контура

Для такой цепи сопротивление катушки и конденсатора являются паразитными, приводят к появлению резонанса. Данный резонанс выравнивает или обнуляет сопротивления, оставляя только влияние активной нагрузки R от резистора. При этом добротность такой электроцепи определяется, как разницу напряжений на источнике тока и выходах катушки/конденсатора. В этом случае Q определяют с помощью следующего выражения:

Формула для определения добротности последовательного контура

В данной формуле:

  1. С — емкость конденсатора.
  2. L — индуктивность катушки.
  3. R — потери сопротивления.

Для примера попробуем решить следующую задачу. В цепи имеется катушка индуктивности L=100 мГн с сопротивлением R=100 Ом, которая соединена последовательно с конденсатором емкостью C=0.07 мкФ. Найдите резонансную частоту ω0, характеристическое сопротивление и добротность колебательного контура.

Вычисляем резонансную частоту контура:

Вычисляем резонансную частоту

Определяем характеристическое сопротивление:

Определяем характеристическое сопротивление цепи

Конечный шаг — вычисление добротности контура:

Вычисляем добротность контура

5. Добротность. Влияние добротности на резонансные кривые последовательного контура r ,l, с

Любой резонансный контур, в том числе и последовательный принято характеризовать добротностью Q и характеристическим сопротивлением .

Напомним, что в данном случае будем рассматривать определение добротности контура при изменении частоты источника питания.

При резонансе .

Добротность контура определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного или емкостного элемента сопротивления при резонансе над напряжением всей цепи U = UR.

В электротехнических и радиотехнических установках добротности могут быть любого порядка, вплоть до десятков тысяч. При больших добротностях (50–500) UL0 >> UR, UR = UВХ = U, т. е. напряжение на индуктивности (или на емкости) во много раз больше приложенного напряжения.

Выясним влияние добротности на резонансные кривые при последовательном соединении

R, L, С. Ток в цепи равен

Относительное значение тока: , т.е..

Пои выводе этой формулы учитывалось, что .

Иногда вводят понятие относительной частоты .

Тогда предыдущая формула запишется так

Построим резонансные кривые в относительных (по току) единицах (рис. 7.8) для трех добротностей. Рассматривая три резонансные кривые, видим, что чем больше добротность, тем острее получается резонансная кривая. Полоса пропускания контура определяется разностью частот, которые получатся при пересечении резонансной кривой горизонтальной линией на уровне .

Из рис. 7.8 видно, что чем меньше добротность, тем шире полоса пропускания. В радиоприемниках колебательные контуры имеют большие добротности (500–1000), поэтому эти контуры обладают достаточно узкими полосами пропускания, что способствует избирательному радиоприему только одной станции.

6. Определение добротности по резонансной кривой

На практике резонансные частотные характеристики реальных контуров можно получать, изменяя частоту генератора в определенных пределах и снимая показания вольтаметра, подключенного параллельно резистору (см. рис. 7.9 а). Строят экспериментальную резонансную кривую и по этой кривой определяют полосу пропускания. Выведем соответствующую формулу для расчета добротности по резонансной кривой, снятой экспериментально.

Из рис. 7.9 б следует:

.

В этом равенстве знаменатели равны, поэтому

Отсюда .

Запишем дважды: при итакие выражения;.

После сложения последних выражений получим

или

Отсюда

И далее .

Очень важно: добротность обратно пропорциональна .

Для последовательного контура R, L, С построена резонансная кривая тока при изменении

емкости С (рис. 7.10).

Пользуясь этой кривой, определим добротность контура. Выражение для тока

Выполним ряд преобразований последней формулы

;

.

Проведем горизонтальную прямую на уровне .

Отметим значения емкости C1 и С2.

Далее сделаем ряд очевидных выкладок. Выразим добротность Q через значения

емкости С1 и С2. Запишем

Найдем сумму и разность емкостей

Запишем отношение .

Напомним, что добротность контура определяется превышением напряжения на индуктивном (или емкостном) сопротивлении при резонансе над напряжением всей цепи (или напряжением на активном сопротивлении), т. е.

Таким образом,

Кроме этого результата, представляется возможным получить значения параметров катушки индуктивности (L и R)

.

Откуда ;.

Откуда .

Величина емкости С0, при которой наступает резонанс, определится так:

; ;;.

Откуда .

Резонанс напряжений может наблюдаться в схеме, показанной на рис. 7.11.

Входное сопротивление такой схемы

При резонансе реактивная составляющая входного сопротивления должна быть равна нулю, т. е.

Добротность

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

· — резонансная частота колебаний

· — энергия, запасённая в колебательной системе

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для Колебательного контура в RLC цепях:

где , и — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

http://www.tryphonov.ru/tryphonov3/terms3/aprtra.htm — АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

6) Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

(4.1)

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

(4.2)

Можно найти такие величины А и φ0, чтобы удовлетворялись уравнения

(4.3)

Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

Подставляя (4.3) в (4.2), получим:

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Биение

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω

Период биений:

7)

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:

Принцип действия колебательного контура

Давайте рассмотрим пример, когда сначала мы заряжаем конденсатор и замыкаем цепь. После этого в цепи начинает течь синусоидальный электрический ток. Конденсатор разряжается через катушку. В катушке при протекании через нее тока возникает ЭДС самоиндукции, направленная в сторону, противоположную току конденсатора.

Разрядившись окончательно, конденсатор благодаря энергии ЭДС катушки, которая в этот момент будет максимальна, начнет заряжаться вновь, но только в обратной полярности.

Колебания, которые происходят в контуре – свободные затухающие колебания. То есть без дополнительной подачи энергии колебания в любом реальном колебательном контуре рано или поздно прекратятся, как и любые колебания в природе.

Это обусловлено тем, что контур состоит из реальных материалов (конденсатор, катушка, провода), обладающих таким свойством, как электрическое сопротивление, и потери энергии в реальном колебательном контуре неизбежны. В противном случае это нехитрое устройство могло бы стать вечным двигателем, существование которого, как известно, невозможно.

Затухающие колебания

Еще одна важная характеристика LC-контура – добротность Q. Добротность определяет амплитуду резонанса и показывает, во сколько раз запасы энергии в контуре превышают потери энергии за один период колебаний. Чем выше добротность системы, тем медленнее будут затухать колебания.

Резонанс LC-контура

Электромагнитные колебания в LC-контуре происходят с определенной частотой, которая называется резонансной Подробнее про резонанс – в нашей отдельной статье. Частоту колебаний можно менять, варьируя такие параметры контура, как емкость конденсатора C, индуктивность катушки L, сопротивление резистора R (для LCR-контура).

Как рассчитать резонансную частоту колебательного контура? Очень просто! Приведем окончательную формулу:

Добротность

Добротность колебательной системы — это отношение энергии, запасенной в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы: чем выше добротность, тем меньше потери энергии в системе в течение каждого периода. Добротность Q связана с логарифмическим декрементом затухания δ и обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. В колебательном контуре с индуктивностью L, емкостью C и омическим сопротивлением R добротность Q равняется

,

где ω — собственная частота контура.

Измерение индуктивности, добротности

Наиболее распространенные схемы мостов на переменном токе для измерения индуктивности и добротности катушек представлены на рис. 1 и 2. В них используются источники гармонического тока с амплитудой напряжения U и угловой частотой ω. Эти четырехплечие мосты соответствуют наилучшей сходимости (уравновешивания). Эквивалентные схемы замещения для катушек индуктивности с потерями могут быть последовательными или параллельными в зависимости от потерь, отображенных активным сопротивлением.

(1) (2)
Схемы мостов для измерения индуктивностей и их добротностей с образцовыми элементами: 1 — катушкой; 2 — конденсатором

Опуская промежуточные вычисления, для схемы рис. 1 имеем:

где Lx и Rx — измеряемые индуктивность и сопротивление омических потерь в катушке; L0 и R0 — образцовые индуктивности и сопротивление.
Поскольку изготовление высокодобротных образцовых катушек вызывает определенные трудности, часто в качестве образцовой меры в мостах переменного тока применяется конденсатор (рис. 2). Для этой схемы имеем следующие формулы для определения параметров катушки индуктивности:

Оцените статью
TutShema
Добавить комментарий